CA2226694A1 - Methode pour simplifier la realisation d'un modele de simulation d'un processus physique dans un milieu materiel - Google Patents
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Abstract
- Méthode permettant de simplifier la réalisation d'un modèle de simulation d'un processus physique dans un milieu matériel, qui comporte la résolution d'un système d'équa tions de modélisation au niveau de chacune des cellules élémentaires ou mailles d'un mail lage comportant un grand nombre n de cellules subdivisant le milieu. - Suivant l'invention, on réalise ce modèle pour un coût relativement faible et dans un temps de calcul raisonnable, si on les rapporte à la qualité et la précision des simulati ons obtenues, essentiellement par une réduction de la taille du problème de résolution. On uti lise à cette fin un espace de Krylov de dimension d très inférieure au nombre n de mailles, ce qu i a pour effet de réduire le volume des opérations de résolution. - Application notamment à la modélisation d'écoulements de fluides à l'intérieur d'un gisement souterrain, et en particulier d'hydrocarbures.
Description
M~:TI~ODh~ POUR SIMPT IFI~R T-~ Ul~AT-IsATIoN D'UN MOD~T.~ DF~
SIMITT.ATION D'UN PROC~SSUS P~IYSIOUP~ DANS
UN ~tlT~ u hll~Tt~RIh~T~
L'invention a pour objet une méthode pour simplilier la réalisation d'un modèle permettant de simuler un proces!ius physique dans un milieu matériel et notamment des écoulements de fluides à l'intérieur d'un gisement souterrain.
La méthode s'applique par exemple à la modélisation d'écoulements d'hydrocarbures dans 10 des gisements.
La caractérisation d'un réselvoil pétrolie! est un problème délicat auquel sont confrontés les géophysiciens, les géologues et les ingénieurs de gisements. Lorsqu'on cherche à préciser ou à valider la description d'un modèle géologique, I'interprétation de tests de puits, de tests d'interférences et de résultats de production joue un très grand rôle.
Certaines de ces techniques d'interprétation sont ba.sées .Sul des l~roce(lurc.s d'inversion où, à partir d'un modèle géologique maillé, on essaye de caler des shnulations numériques sur des mesures de te:rrain en faisant varier les paramètres de ce modèle.
Le rôle des simulations numériques est ainsi devenu de plus en plus important et la description g~ologique devenant de plus en plus fine, la taille des modèles simulés s'accroît et les temps de calculs qui croissent corrélativement, restent très élevés malgré l'amélioration des perforrnances des ordinateurs.
De la. même façon, lors d'~ln processus d'inversion utilisant des simulations sur des modèles maillés, il est capital d'obtenir des solutions très précises n'introduisant pas de biais numériques lorsqu'on les compare à des mesures de terrains.
Pour modéliser des écoulements dans un gisement pétrolier, il est classique d'utiliser les équations généralisées de Darcy, la loi de conservation de la masse, et de leur associer des conditions aux puits, des conditions aux limites et des conditions initiales.
On obtient ainsi un système d'équations non linéaires aux dérivées partielles dont les inconnues sont les pressions P et les saturations S de chaque phase et, éventuellement, les concentrations de chaque constituant dans les phases.
~t (~\~C;r'PPsl )- div[~cipppvp) - ~q~ = O ( "
où ~ est la porosité; Cip la concentration du constituant i, Sp la s.ltulation de la phase p, pp la masse volumique et dqj le débit de conslituDnt inJecté ou p ~-.
La vitesse du fluide et 1.~ pression sont reliées par la loi de Dalcy:
Vp = Pg~ Cl(Pp+P~ 7) (2) où K est la perméabilité absolue, ~rp la perméabilité relative à la phase p; ,up la viscosité
relative à la phase p.
A ces équations, il convient d'ajouter les bilans de satulations et de constituants, et les relations de capillarité.
Dans le cas d'un fluide monophasique et peu compressible, le système d'équations se réduit à :
cv~aaP Vdiv(Kgln~l(P)+pgz)= qp (3) avec des conditions de flux nul ou de pression imposée aux bords et des conditions initiales. C
représente la compressibilité totale (pores et fluide), supposée constante dans le modèle, et V~ le volume poreux.
Après discrétisation du milieu souterrain étudié par un maillage, en utilisant une méthode de résolution par volumes finis, le système d'équations à résoudre pour chaque maille du modèle maillé est:
CVj~ ~(t) _--~ Ti, (" [(P,~"(t) - P( t)j )+ pg(z, u ) - ~i )]= q"~iP (4) avec:
: indice de maille v(i) : I'ensemble des mailles voisines de la maille i ~ip = I : si le puits p est dans la maille i Tjv(i, : la transmissivité entre les mailles i et v(i) Si on ,~crit le système sous forme matricielle en notant A la matrice des transmissivités, D
, la matrice diagonale des CVq~ et Q, le second membre, on obtient:
rD ~ - = AP(t)+Q, t ~[0, [
LP(t = O) = po ~5 . CA 02226694 1998-02-11 où P est un vecteur de dimension 1~ le nombre d'inconnues qui sont les pressions aux puits et dans chaque maille du modèle m.lille, et Po représente l'état initial du gisement. La matrice-A
est une matrice carrée nxn sylnétl iqLle définie positive.
La matrice diagonale D étant positive et indépendante du temps, on peut écrire le 5 système matriciel sous la forme suiv.lllte:
rU=D~'P
,~( ) = D-Y-AD~ U(t)+ D-~-Q, t~ [~~[ (6) LU(t=O)=UI, =D~P"
La résolution pour toutes les mailles du système d'équations s'avère très lourde et très coûteuse en temps de calcul si le nombre de mailles du modèle est très élevé, comme c'est 10 généralemenl; le cas.
La ml~thode selon l'invention permet de simplifier la réalisation d'un modèle permettant de simuler des écoulements de fluides dans un milieu matériel hétérogène, (tel que des écoulements d'hydrocarbures dans des gisements par exemple), que l'on discrétise par un maillage en un grand nombre n de cellules élémentaires ou mailles, ce modèle étant formé par la 15 résolution d'un système d'équations de modélisation des écoulements de fluides, à partir de valeurs initiales connues d'un certain nombre de paramètres physiques tels que des pressions, des saturations de différentes phases, des débits, des porosités etc., valeurs initiales obtenues par diftërents moyens connus: carottages, logs, interprétations, etc.
On realise ce modèle pOUI un coût relativement faible et dans un temps de calcul'~0 raisonnable, si on les rapporte à la qualité et la précision des simulations obtenues, essentielleme:nt par une réduction de la taille du problème de résolution, en utilisant un espace de Krylov de dimension d très inférieure au nombre n de mailles.
La méthode selon l'invention s'applique en particulier pour constituer un modèle pour simuler des écoulements de fluides monophasiques.
D'autres caractéristiq-les et av.lntages de la méthode selon l'invention, apparaîtront à la lecture de la description ci-après de modes de réalisation décrits à titre d'exemples non limitatifs, en se référanl: aux dessins annexés où:
, - la Fig. I montre les évolutions col~ rées de la dérivée par rappol-t au logarithme du temps de la pression au niveau d'un puits de production foré au travers d'un gisement d'hydrocarbures, obtenues par la méthode selon l'invention et une méthode de simulation classique dans le cas d'un gisement homogène monocouche d'épaisseur variable;
S - la Fig. 2 nlontle les évolutions compalées de la dérivée de la pression au puits par rapport au logarithme du temps, obtenues pal la méthode selon l'invention et une méthode de simulation classique, dans le cas d'un gisement hétérogène monocouche organisé en chenal; et - la Fig. 3 montre les évolutions comparées de la dérivée de la pression par rapport au logarithme du temps, obtenues par la méthode selon l'invention et une méthode de simulation 10 classique, dans le cas d'un giselllellt hétérogène multicouches.
I) Description de la méthode L'objectif de la méthode est d'obtenir beaucoup plus rapidement un modèle permettant la simulation d'~ coulements (monophasiques et polyphasiques) dans un milieu souterrain, ceci en réduisant la taille d'un problème complexe de modélisation de dimension n considérable (n est 15 de l'ordre de 106) à un système d'équations différentielles de dimension d petite (d de l'ordre de 10 par exemple). Elle permet aussi de déterminer les gradients de la pression par rapport a des paramètres du milieu.
Comrne on le verra dans la description ci-après, le modèle est obtenu en extrayant de l'espace de dimension n, un sous-espace pertinent de dimension d. Ce sous-espace est un espace 20 de Krylov dont la construction est basée sur le calcul de dérivées d'ordre supérieur en temps, ou sur une autre technique (sous-espaces propres, vecteurs de bases calculés avec un schéma d'intégration du problème de taille 1l, etc.).
La méthode s'applique à la dérivation par rapport au temps et à la dérivation par rapport à
des palumètlts du milieu. La derivatioll par rapport au temps perlllet de résoudre le problènle 25 direct et la dérivation par rapport aux paramètres permet de traiter le problème inverse.
Le prc,blème à résoudre est la résolution d'un système de la forme:
D . ~--= A . U( t ) + Q
U(O) = U() et des conditions aux limites .
ou (Ui)i=l~n est un vecteul obtenu r~ar discrétisation de l'esp.lce etudié en un maillage de n éléments, D est une matrice diagon;lle, A une matrice symétrique et Q un vecteur de dimension Il .
La silnplification apporlée pal la méthode repose sul l'utilisation de l'espace dit de 5 Krylov, décrit dans la littératule, notalllment par:
- Sonneveld., P., CSG: A Fast Lanczos-type Solver for Nonsymmetric Linear Systems, SIAM J.
Sci. Comp, Vol 10, No 1, 36-5~, 19~9.
- Saad, Y., et al.; GMRES: A generalized Minimal Residual Algorithm for Solving Nonsymmetric Linear Systems, Sialll J. Sci Stat. Comp., vol 7, No 3, 856-869, 1986; ou 10 - Golub, G.H. et al; Matrix Computations, The Johns Hopkins University Press, Baltimore, Second Eclition, 1989.
On rappelle qu'un espace de Krylov est un espace vectoriel de dimension d constitué par la suite de vecteurs E~,=tvo,...,y") avec (y;=U(')(0)~ ,dS n, qui peuvent être calculés facilement pa,r récurrence:
rYO=uO
I y, = U(')(O) = D~ AD )~Uo + D-~!Q
LYi = U(i)(o) = D-V'AD-~U(i-')(0), d > i > I
La matrice A étant creuse, ces produits matrice-vecteur ont une complexité linéaire en fonction de n .
La sirnplification apportée par la méthode passe par la projection du système d'équations dans un espace de Krylov de dimension d+l, avec d beaucoup plus petit que n, engendré par la 20 suite de vecte urs:
lU'~', U(l ), U('l)) où U(i) = AU(i-l) etU(~) = U(0) On cherche ensuite une solLItion approchée Ua(t) dans cet espace de Krylov sous la forme U;,(~ , Vj(~)U( i) j=l) Le problème consiste m.lintenant à calculer les (vj(t)¦ /)" ce qui est un problème de dimension récluite.
Il est bien connu que la méthode du gradient conjugué donne à la diènle itération la 5 solution qui nninimise le résidu du système à résoudre dans un espace de Krylov de dimension d.
D'où la convergence en /~ itérations aLI plus.
On n'utilise que des vecteuls de Krylov indépendants en considér.lnt le plus grand indice ~1 < n tel que (yj),=0. Il est aisé de voir que la solution U(t) appartient à l'espace Ed, et donc que l'on peut travdiller dans cet espace.
Dans la pratique, on va utiliser un espace de Krylov particulier en raison de la présence du terme source Q que l'on cherche à éliminer.
A cet effet, on écrit le système d'équations (6) sous la forme suivante:
rZ(t~ ~U(t) I A = D-r~AD-~.
~ ) = AZ(t) . t ~ [O,oo[
LZ~~~= d = AUo + D 'Q
et on en cherc:he la solution approchée dans l'espace de Krylov E" = \y"...,y") sous la forme:
za(t) = ~vj(t)y; (8) j=l A cet effet, on utilise par exemple la méthode de Galerkin décrite notamment dans:
- Lascaux, I' et Théodor, R; Analyse numérique matricielle appliquée à l'art de l'ingénieur, Masson, Paris, 1987, Tome 2.
- Strang, G; Introduction to Applied Mathematics, Wellesley - Cambridge Press, Wellesley, 20 Massachusetts, 1986.
, .
' CA 02226694 1998-02-11 La méthode de Galerkin cond~
< ~a~t~ ~Y, >=< A~"( I ),y; >, I < i < cl et en tenant compte de la relation (8), on obtient:
~,< yj, yj > ~ ,< Ay;, y; > Vj (~), I < i < ~l i-l j=l En posant M = (< yj, vj >), j=", et B = (< Ayj, vj >)j j="" le système s'écrit:
rMC~V =BV, t~[~,~~[ (9) Lv(o) = ( 1,0,...,0 ) La condition initiale découle de la relation (8) en écrivant que z,(0)= z(0) et en utilisant le fait que les vecteurs de Krylov sont indépendants.
Le système d'équations (9) de dimension cl peut se résoudre facilement et on obtient les 10 expressions cles vi en fonction du temps. On en déduit ensuite une solution approchée du système d'équations (6) en calculant:
Ua (t) = ~ ¦o v/ ( s)clsy; + Yo J'l II) Résolution du problème réduit Lorsque cl est petit, on peut résoudre le système (9) par une méthode directe. On 15 considère une matrice S telle que M=S)~S~ (S est une racine carré de M) et on pose w(t) = S 'v(t) .
Le système d'équations (9) devient alors:
r ~ ~tt) = S-'''BS-~v(t l~v(o) = sY'v(O) 20 et on peut le résoudre par diagonalisation de la matrice symétrique S-Y'BS-Y-'.
Cette méthode d'intégration "ex.lcte" ne peut pas être utilisée dans le cas où le système d'éqLI.ltions ('i) a un second memble ~1ui varie en fonction du temps et ni dans le cas non linéah-e.
Dians le cas g(~néral, on peut utilisel un schéma numérique pour l'intégration du problème réduit.
111) ~llise en oeuvre numéri(1ue En raE)pelant que M = (< !~ , >)i j=l .l, nous avons, en utilisant la sylnétrie de la matrice des tr~nsmissivitésA, ~ yj,Yj >=<AiY",A ~" >=<y",A iY" >. Cela veut dh-e que les termes de M sont constants sur la codi~gonule i+j = constante. On montre également que B est obtenue par translation de la matrice M: bj j = mj+~;.
Ces remarques sont de nat-lle à accélérer les calculs. Mais dans lu pratique, les itérés 10 successifs de A ~ ont tendance à uugmenter fortement en norme. Une démarche possible, consiste à appliquer le procédé d'orthogonali.sation de Schmidt aux vecteuls de la base de Krylov. Cette technique présente deux avantages:
~ elle évite la génération d'éléments de la base de norme très grande, ~ elle permet de détecter l'existence de vecteurs de Krylov dépendants et ainsi de déterminer la l S taille optimale d du petit système.
IV) Résultats La m~thode a été appliquée à que!ques cas de référence en comparant les solutions obtenues aux solutions données par une simulation classique consistant à discrétiser le temps en une suite d'instant tk et à résoudre le système de grande taille à chacun de ses instants.
~0 1) Exemple 1: Cas homo~ène On considère le cas d'un gisement d'hydrocarbures comportant une couche de perméabilité et porosité homogènes, sur laquelle on a formé un maillage comprenant 58x67 mailles horizontalement. Le maillage est plus fin à proximité du puits qui est placé au centre du gisement modélisé. La perméabilité est de 700 mD et la porosité est de 30%. L'épaisseur du ~5 gisement modélisé est variable et comprise entre 40 m et Im et la taille des mailles varie de 50m loin du puits à Sm autour du puits. On a simulé un pompage durant 86400 s (I jour) avec un débit de 30 m3/jour.
On cc,nstate sur la Fig. I que les valeurs obtenues par la méthode selon l'invention sont semblables aux valeurs obtenues pal une méthode classique du type discrétisation du temps et ,., résolution des systèmes linéail-es p.n Llne méthode de gradients conjugués. Mais les résultats obtenus par la méthode propo!iée coïncident avec le gradiellt conjugué lorsque le pas de discrétisation en temps est petit en début de simulation (0,1) et que sa progression géométrique est faible (1,01). Lorsque les pas cle temps augmentent avec une raison géométrique plus S import,lnte, les résultats oblenus en dél-ivée divergent. Les pas de temps initiaux et maximaux ainsi que la raison de la proglession géométrique des différents tests sont présentés dans le tableau ci-uprès.
A qualité de simulation égale, les temps de calcul nécessailes à la construction du modèle par la méthode selon l'invention sont beaucoup plus faibles que ceux nécessaires à une 10 simulation classique par une méthode du type gradients conjugués.
Toutes les simulations présentées ont été réalisées sur une station de travail.
CasPas de tempsProgression duPas de temps Temps de calcul Min pas de temps Max. (secondes CPU) I ,3 1 0000 20
SIMITT.ATION D'UN PROC~SSUS P~IYSIOUP~ DANS
UN ~tlT~ u hll~Tt~RIh~T~
L'invention a pour objet une méthode pour simplilier la réalisation d'un modèle permettant de simuler un proces!ius physique dans un milieu matériel et notamment des écoulements de fluides à l'intérieur d'un gisement souterrain.
La méthode s'applique par exemple à la modélisation d'écoulements d'hydrocarbures dans 10 des gisements.
La caractérisation d'un réselvoil pétrolie! est un problème délicat auquel sont confrontés les géophysiciens, les géologues et les ingénieurs de gisements. Lorsqu'on cherche à préciser ou à valider la description d'un modèle géologique, I'interprétation de tests de puits, de tests d'interférences et de résultats de production joue un très grand rôle.
Certaines de ces techniques d'interprétation sont ba.sées .Sul des l~roce(lurc.s d'inversion où, à partir d'un modèle géologique maillé, on essaye de caler des shnulations numériques sur des mesures de te:rrain en faisant varier les paramètres de ce modèle.
Le rôle des simulations numériques est ainsi devenu de plus en plus important et la description g~ologique devenant de plus en plus fine, la taille des modèles simulés s'accroît et les temps de calculs qui croissent corrélativement, restent très élevés malgré l'amélioration des perforrnances des ordinateurs.
De la. même façon, lors d'~ln processus d'inversion utilisant des simulations sur des modèles maillés, il est capital d'obtenir des solutions très précises n'introduisant pas de biais numériques lorsqu'on les compare à des mesures de terrains.
Pour modéliser des écoulements dans un gisement pétrolier, il est classique d'utiliser les équations généralisées de Darcy, la loi de conservation de la masse, et de leur associer des conditions aux puits, des conditions aux limites et des conditions initiales.
On obtient ainsi un système d'équations non linéaires aux dérivées partielles dont les inconnues sont les pressions P et les saturations S de chaque phase et, éventuellement, les concentrations de chaque constituant dans les phases.
~t (~\~C;r'PPsl )- div[~cipppvp) - ~q~ = O ( "
où ~ est la porosité; Cip la concentration du constituant i, Sp la s.ltulation de la phase p, pp la masse volumique et dqj le débit de conslituDnt inJecté ou p ~-.
La vitesse du fluide et 1.~ pression sont reliées par la loi de Dalcy:
Vp = Pg~ Cl(Pp+P~ 7) (2) où K est la perméabilité absolue, ~rp la perméabilité relative à la phase p; ,up la viscosité
relative à la phase p.
A ces équations, il convient d'ajouter les bilans de satulations et de constituants, et les relations de capillarité.
Dans le cas d'un fluide monophasique et peu compressible, le système d'équations se réduit à :
cv~aaP Vdiv(Kgln~l(P)+pgz)= qp (3) avec des conditions de flux nul ou de pression imposée aux bords et des conditions initiales. C
représente la compressibilité totale (pores et fluide), supposée constante dans le modèle, et V~ le volume poreux.
Après discrétisation du milieu souterrain étudié par un maillage, en utilisant une méthode de résolution par volumes finis, le système d'équations à résoudre pour chaque maille du modèle maillé est:
CVj~ ~(t) _--~ Ti, (" [(P,~"(t) - P( t)j )+ pg(z, u ) - ~i )]= q"~iP (4) avec:
: indice de maille v(i) : I'ensemble des mailles voisines de la maille i ~ip = I : si le puits p est dans la maille i Tjv(i, : la transmissivité entre les mailles i et v(i) Si on ,~crit le système sous forme matricielle en notant A la matrice des transmissivités, D
, la matrice diagonale des CVq~ et Q, le second membre, on obtient:
rD ~ - = AP(t)+Q, t ~[0, [
LP(t = O) = po ~5 . CA 02226694 1998-02-11 où P est un vecteur de dimension 1~ le nombre d'inconnues qui sont les pressions aux puits et dans chaque maille du modèle m.lille, et Po représente l'état initial du gisement. La matrice-A
est une matrice carrée nxn sylnétl iqLle définie positive.
La matrice diagonale D étant positive et indépendante du temps, on peut écrire le 5 système matriciel sous la forme suiv.lllte:
rU=D~'P
,~( ) = D-Y-AD~ U(t)+ D-~-Q, t~ [~~[ (6) LU(t=O)=UI, =D~P"
La résolution pour toutes les mailles du système d'équations s'avère très lourde et très coûteuse en temps de calcul si le nombre de mailles du modèle est très élevé, comme c'est 10 généralemenl; le cas.
La ml~thode selon l'invention permet de simplifier la réalisation d'un modèle permettant de simuler des écoulements de fluides dans un milieu matériel hétérogène, (tel que des écoulements d'hydrocarbures dans des gisements par exemple), que l'on discrétise par un maillage en un grand nombre n de cellules élémentaires ou mailles, ce modèle étant formé par la 15 résolution d'un système d'équations de modélisation des écoulements de fluides, à partir de valeurs initiales connues d'un certain nombre de paramètres physiques tels que des pressions, des saturations de différentes phases, des débits, des porosités etc., valeurs initiales obtenues par diftërents moyens connus: carottages, logs, interprétations, etc.
On realise ce modèle pOUI un coût relativement faible et dans un temps de calcul'~0 raisonnable, si on les rapporte à la qualité et la précision des simulations obtenues, essentielleme:nt par une réduction de la taille du problème de résolution, en utilisant un espace de Krylov de dimension d très inférieure au nombre n de mailles.
La méthode selon l'invention s'applique en particulier pour constituer un modèle pour simuler des écoulements de fluides monophasiques.
D'autres caractéristiq-les et av.lntages de la méthode selon l'invention, apparaîtront à la lecture de la description ci-après de modes de réalisation décrits à titre d'exemples non limitatifs, en se référanl: aux dessins annexés où:
, - la Fig. I montre les évolutions col~ rées de la dérivée par rappol-t au logarithme du temps de la pression au niveau d'un puits de production foré au travers d'un gisement d'hydrocarbures, obtenues par la méthode selon l'invention et une méthode de simulation classique dans le cas d'un gisement homogène monocouche d'épaisseur variable;
S - la Fig. 2 nlontle les évolutions compalées de la dérivée de la pression au puits par rapport au logarithme du temps, obtenues pal la méthode selon l'invention et une méthode de simulation classique, dans le cas d'un gisement hétérogène monocouche organisé en chenal; et - la Fig. 3 montre les évolutions comparées de la dérivée de la pression par rapport au logarithme du temps, obtenues par la méthode selon l'invention et une méthode de simulation 10 classique, dans le cas d'un giselllellt hétérogène multicouches.
I) Description de la méthode L'objectif de la méthode est d'obtenir beaucoup plus rapidement un modèle permettant la simulation d'~ coulements (monophasiques et polyphasiques) dans un milieu souterrain, ceci en réduisant la taille d'un problème complexe de modélisation de dimension n considérable (n est 15 de l'ordre de 106) à un système d'équations différentielles de dimension d petite (d de l'ordre de 10 par exemple). Elle permet aussi de déterminer les gradients de la pression par rapport a des paramètres du milieu.
Comrne on le verra dans la description ci-après, le modèle est obtenu en extrayant de l'espace de dimension n, un sous-espace pertinent de dimension d. Ce sous-espace est un espace 20 de Krylov dont la construction est basée sur le calcul de dérivées d'ordre supérieur en temps, ou sur une autre technique (sous-espaces propres, vecteurs de bases calculés avec un schéma d'intégration du problème de taille 1l, etc.).
La méthode s'applique à la dérivation par rapport au temps et à la dérivation par rapport à
des palumètlts du milieu. La derivatioll par rapport au temps perlllet de résoudre le problènle 25 direct et la dérivation par rapport aux paramètres permet de traiter le problème inverse.
Le prc,blème à résoudre est la résolution d'un système de la forme:
D . ~--= A . U( t ) + Q
U(O) = U() et des conditions aux limites .
ou (Ui)i=l~n est un vecteul obtenu r~ar discrétisation de l'esp.lce etudié en un maillage de n éléments, D est une matrice diagon;lle, A une matrice symétrique et Q un vecteur de dimension Il .
La silnplification apporlée pal la méthode repose sul l'utilisation de l'espace dit de 5 Krylov, décrit dans la littératule, notalllment par:
- Sonneveld., P., CSG: A Fast Lanczos-type Solver for Nonsymmetric Linear Systems, SIAM J.
Sci. Comp, Vol 10, No 1, 36-5~, 19~9.
- Saad, Y., et al.; GMRES: A generalized Minimal Residual Algorithm for Solving Nonsymmetric Linear Systems, Sialll J. Sci Stat. Comp., vol 7, No 3, 856-869, 1986; ou 10 - Golub, G.H. et al; Matrix Computations, The Johns Hopkins University Press, Baltimore, Second Eclition, 1989.
On rappelle qu'un espace de Krylov est un espace vectoriel de dimension d constitué par la suite de vecteurs E~,=tvo,...,y") avec (y;=U(')(0)~ ,dS n, qui peuvent être calculés facilement pa,r récurrence:
rYO=uO
I y, = U(')(O) = D~ AD )~Uo + D-~!Q
LYi = U(i)(o) = D-V'AD-~U(i-')(0), d > i > I
La matrice A étant creuse, ces produits matrice-vecteur ont une complexité linéaire en fonction de n .
La sirnplification apportée par la méthode passe par la projection du système d'équations dans un espace de Krylov de dimension d+l, avec d beaucoup plus petit que n, engendré par la 20 suite de vecte urs:
lU'~', U(l ), U('l)) où U(i) = AU(i-l) etU(~) = U(0) On cherche ensuite une solLItion approchée Ua(t) dans cet espace de Krylov sous la forme U;,(~ , Vj(~)U( i) j=l) Le problème consiste m.lintenant à calculer les (vj(t)¦ /)" ce qui est un problème de dimension récluite.
Il est bien connu que la méthode du gradient conjugué donne à la diènle itération la 5 solution qui nninimise le résidu du système à résoudre dans un espace de Krylov de dimension d.
D'où la convergence en /~ itérations aLI plus.
On n'utilise que des vecteuls de Krylov indépendants en considér.lnt le plus grand indice ~1 < n tel que (yj),=0. Il est aisé de voir que la solution U(t) appartient à l'espace Ed, et donc que l'on peut travdiller dans cet espace.
Dans la pratique, on va utiliser un espace de Krylov particulier en raison de la présence du terme source Q que l'on cherche à éliminer.
A cet effet, on écrit le système d'équations (6) sous la forme suivante:
rZ(t~ ~U(t) I A = D-r~AD-~.
~ ) = AZ(t) . t ~ [O,oo[
LZ~~~= d = AUo + D 'Q
et on en cherc:he la solution approchée dans l'espace de Krylov E" = \y"...,y") sous la forme:
za(t) = ~vj(t)y; (8) j=l A cet effet, on utilise par exemple la méthode de Galerkin décrite notamment dans:
- Lascaux, I' et Théodor, R; Analyse numérique matricielle appliquée à l'art de l'ingénieur, Masson, Paris, 1987, Tome 2.
- Strang, G; Introduction to Applied Mathematics, Wellesley - Cambridge Press, Wellesley, 20 Massachusetts, 1986.
, .
' CA 02226694 1998-02-11 La méthode de Galerkin cond~
< ~a~t~ ~Y, >=< A~"( I ),y; >, I < i < cl et en tenant compte de la relation (8), on obtient:
~,< yj, yj > ~ ,< Ay;, y; > Vj (~), I < i < ~l i-l j=l En posant M = (< yj, vj >), j=", et B = (< Ayj, vj >)j j="" le système s'écrit:
rMC~V =BV, t~[~,~~[ (9) Lv(o) = ( 1,0,...,0 ) La condition initiale découle de la relation (8) en écrivant que z,(0)= z(0) et en utilisant le fait que les vecteurs de Krylov sont indépendants.
Le système d'équations (9) de dimension cl peut se résoudre facilement et on obtient les 10 expressions cles vi en fonction du temps. On en déduit ensuite une solution approchée du système d'équations (6) en calculant:
Ua (t) = ~ ¦o v/ ( s)clsy; + Yo J'l II) Résolution du problème réduit Lorsque cl est petit, on peut résoudre le système (9) par une méthode directe. On 15 considère une matrice S telle que M=S)~S~ (S est une racine carré de M) et on pose w(t) = S 'v(t) .
Le système d'équations (9) devient alors:
r ~ ~tt) = S-'''BS-~v(t l~v(o) = sY'v(O) 20 et on peut le résoudre par diagonalisation de la matrice symétrique S-Y'BS-Y-'.
Cette méthode d'intégration "ex.lcte" ne peut pas être utilisée dans le cas où le système d'éqLI.ltions ('i) a un second memble ~1ui varie en fonction du temps et ni dans le cas non linéah-e.
Dians le cas g(~néral, on peut utilisel un schéma numérique pour l'intégration du problème réduit.
111) ~llise en oeuvre numéri(1ue En raE)pelant que M = (< !~ , >)i j=l .l, nous avons, en utilisant la sylnétrie de la matrice des tr~nsmissivitésA, ~ yj,Yj >=<AiY",A ~" >=<y",A iY" >. Cela veut dh-e que les termes de M sont constants sur la codi~gonule i+j = constante. On montre également que B est obtenue par translation de la matrice M: bj j = mj+~;.
Ces remarques sont de nat-lle à accélérer les calculs. Mais dans lu pratique, les itérés 10 successifs de A ~ ont tendance à uugmenter fortement en norme. Une démarche possible, consiste à appliquer le procédé d'orthogonali.sation de Schmidt aux vecteuls de la base de Krylov. Cette technique présente deux avantages:
~ elle évite la génération d'éléments de la base de norme très grande, ~ elle permet de détecter l'existence de vecteurs de Krylov dépendants et ainsi de déterminer la l S taille optimale d du petit système.
IV) Résultats La m~thode a été appliquée à que!ques cas de référence en comparant les solutions obtenues aux solutions données par une simulation classique consistant à discrétiser le temps en une suite d'instant tk et à résoudre le système de grande taille à chacun de ses instants.
~0 1) Exemple 1: Cas homo~ène On considère le cas d'un gisement d'hydrocarbures comportant une couche de perméabilité et porosité homogènes, sur laquelle on a formé un maillage comprenant 58x67 mailles horizontalement. Le maillage est plus fin à proximité du puits qui est placé au centre du gisement modélisé. La perméabilité est de 700 mD et la porosité est de 30%. L'épaisseur du ~5 gisement modélisé est variable et comprise entre 40 m et Im et la taille des mailles varie de 50m loin du puits à Sm autour du puits. On a simulé un pompage durant 86400 s (I jour) avec un débit de 30 m3/jour.
On cc,nstate sur la Fig. I que les valeurs obtenues par la méthode selon l'invention sont semblables aux valeurs obtenues pal une méthode classique du type discrétisation du temps et ,., résolution des systèmes linéail-es p.n Llne méthode de gradients conjugués. Mais les résultats obtenus par la méthode propo!iée coïncident avec le gradiellt conjugué lorsque le pas de discrétisation en temps est petit en début de simulation (0,1) et que sa progression géométrique est faible (1,01). Lorsque les pas cle temps augmentent avec une raison géométrique plus S import,lnte, les résultats oblenus en dél-ivée divergent. Les pas de temps initiaux et maximaux ainsi que la raison de la proglession géométrique des différents tests sont présentés dans le tableau ci-uprès.
A qualité de simulation égale, les temps de calcul nécessailes à la construction du modèle par la méthode selon l'invention sont beaucoup plus faibles que ceux nécessaires à une 10 simulation classique par une méthode du type gradients conjugués.
Toutes les simulations présentées ont été réalisées sur une station de travail.
CasPas de tempsProgression duPas de temps Temps de calcul Min pas de temps Max. (secondes CPU) I ,3 1 0000 20
2 1 1,1 1000 68
3 0,1 1,01 1000 268 Méthodle Base de Krylov de 25 éléments 85 proposé e Tableau 1: Comparaison des temps de calculs du cas homogène d'épaisseur variable 2) Exlemple 2: Cas d'un chenal On considère le cas d'un gisement d'hydrocarbures formé d'une couche comportant 2 perméabilités, différentes organisées en chenal et de porosité homogène. Le maillage comprend 91x91 mailles horizontalement toutes identiques de 10m sur 10m. Le puits est placé au centre du gisement modélisé et à l'intérieur du chenal de perméabilité est de 100 rnD et de porosité 20%.
20 Le chenal es,t parallèle à l'axe des X et de largeur 310m centré sur le puits. L'épaisseur du gisement modélisé est constante est égale à 10 m. La partie hors chenal a une perméabilité de I mD et une polosité de 20%. On a sill1ulé un pompage durant 300.000 s (environ 3,5 jours) avec un débit de 50 m3/jour.
.
On constate sur la Fig.'7 qLIe, colllme dans le cas précédent, les valeuls obtenues par la methode selon l'invention sonl seml)l,lbles aux valeuls obtenues pal une méthode classique du type discrétisation du temps et résolLItion des systèmes linéaires par une méthode de gradients conjugués. Mais les résultats obtenus par la méthode proposée coïncident avec le gradient 5 conjugué lorsque le pas de discréti.s.ltion en temps est petit en début de simul.ltion (0,1) et que sa proglession géométrique est faible ( 1,01). Lorsque les pas de temps augmentent avec une raison géométl ique plus importante, le.~i rcslllt;lts obtenus en dérivée divergent.
Les pas de temps initiaux et maximaux ainsi que la raison de la proglession géométrique des diffélenls tests sont présentés dans le tableau ci-après. Il est à noter que dans toutes les 10 configurations testées la méthode proposée est plus rapide que la simulation classique et ceci avec des résultats plus précis.
CasPas de tempsProgl-ession du Pas de temps Temps de calcul Min pas de temps Max. (secondes CPU) I ,3 1 0000 3 1 2 1 1,1 1000 71 3 0,1 1,01 1000 389 Méthode Base de Krylov de 20 éléments 25 proposée 3) Exemple 3: Cas hétéro~ène multicouche On considère le cas d'un gisement d'hydrocarbures comportant 3 couches formées I S subdivisée chacune par un maiJlage de 55 mailles dans les 2 directions horizontales. Le maillage est plus fin près du puits placé au centre du gisement modélisé.
La perméabilité horizontale des trois couches est de bas en haut respectivement: 10mD, 200mD et I mlD.
Les perméabilités verticales valent respectivement ImD, 5mD, 0.1mD et la porosité est 20 homogène (20%). L'épaisseur de chaque couche est de Sm et la taille horizontale des mailles varie de 100n,~ loin du puits à Sm autour du puits.
On u simulé un pompage durallt 200 000 s avec un débit de 50m3/jour. Comme dans les exemples précédents, on vérifie que les valeurs obtenues par la méthode selon l'invention sont semblables aux valeurs obtenues par ulle méthode classique. En se référant à la Fig.3, on note , que les résullaLs obtenus pal la méthode proposée, comcident avec le gr.ldient conjugué lorsque le paS7 de discréti.s.ltion en temps est petit au départ (0.1) et aLIglllente lenteMent avec une raison de 1.01. Les ;solutions obtenues ditl~érenL de plus en plus lors,que le pa.s de discrétisation en temps augmente avec une raison géomélriqLIe de plus en plus grande. Les caractéristiques des tests 5 présentés et les temps de calculs respt ctifs sont regroupés dans le table.lu ci-après:
CasPas de tempsProgl-ession duPas de temps Ten-ps de calcul Min pa.s de temps Max. (secondes CPU) I ,3 1 0000 74 2 1 1, I I 000 347 3 0,1 1,01 1000 890 Méthocle Base de Krylov de 25 éléments 185 proposee Les trois exemples présentés ci-dessus parmi tous ceux qui ont permis de valider la méthode de modélisation proposée avec projection dans un espace de Krylov, illustrent bien ses avantages. Le problème d'évolution de grande taille est réduit à la résolution d'un système 10 d'équations différentielles de faible dimension, et les résultats numériques obtenus sont plus précis qu'avec une simulation classique pour un coût moindre.
Dans l'optique d'une utilisation des simulations numériques pour interpréter les essais de puits, I'utilisation des dérivées d'ordre supérieur en temps pour construire la base de Krylov présente un avantage très important car elle permet la simulation directe de la dérivée de la 15 pression par rapport au temps. Cette dérivée est disponible pour la pression au puits mais également pour chaque maille modélisant le gisement et peut être calculée de façon continue à
chaque instant contrairement au cas discret.
Il faut noter enfin que le coût de stockage des informations nécessaires en cours de calcul est identique à celui d'une simulation classique avec discrétisation du temps et résolution d'un 20 système linéaire à chaque pas de temps.
20 Le chenal es,t parallèle à l'axe des X et de largeur 310m centré sur le puits. L'épaisseur du gisement modélisé est constante est égale à 10 m. La partie hors chenal a une perméabilité de I mD et une polosité de 20%. On a sill1ulé un pompage durant 300.000 s (environ 3,5 jours) avec un débit de 50 m3/jour.
.
On constate sur la Fig.'7 qLIe, colllme dans le cas précédent, les valeuls obtenues par la methode selon l'invention sonl seml)l,lbles aux valeuls obtenues pal une méthode classique du type discrétisation du temps et résolLItion des systèmes linéaires par une méthode de gradients conjugués. Mais les résultats obtenus par la méthode proposée coïncident avec le gradient 5 conjugué lorsque le pas de discréti.s.ltion en temps est petit en début de simul.ltion (0,1) et que sa proglession géométrique est faible ( 1,01). Lorsque les pas de temps augmentent avec une raison géométl ique plus importante, le.~i rcslllt;lts obtenus en dérivée divergent.
Les pas de temps initiaux et maximaux ainsi que la raison de la proglession géométrique des diffélenls tests sont présentés dans le tableau ci-après. Il est à noter que dans toutes les 10 configurations testées la méthode proposée est plus rapide que la simulation classique et ceci avec des résultats plus précis.
CasPas de tempsProgl-ession du Pas de temps Temps de calcul Min pas de temps Max. (secondes CPU) I ,3 1 0000 3 1 2 1 1,1 1000 71 3 0,1 1,01 1000 389 Méthode Base de Krylov de 20 éléments 25 proposée 3) Exemple 3: Cas hétéro~ène multicouche On considère le cas d'un gisement d'hydrocarbures comportant 3 couches formées I S subdivisée chacune par un maiJlage de 55 mailles dans les 2 directions horizontales. Le maillage est plus fin près du puits placé au centre du gisement modélisé.
La perméabilité horizontale des trois couches est de bas en haut respectivement: 10mD, 200mD et I mlD.
Les perméabilités verticales valent respectivement ImD, 5mD, 0.1mD et la porosité est 20 homogène (20%). L'épaisseur de chaque couche est de Sm et la taille horizontale des mailles varie de 100n,~ loin du puits à Sm autour du puits.
On u simulé un pompage durallt 200 000 s avec un débit de 50m3/jour. Comme dans les exemples précédents, on vérifie que les valeurs obtenues par la méthode selon l'invention sont semblables aux valeurs obtenues par ulle méthode classique. En se référant à la Fig.3, on note , que les résullaLs obtenus pal la méthode proposée, comcident avec le gr.ldient conjugué lorsque le paS7 de discréti.s.ltion en temps est petit au départ (0.1) et aLIglllente lenteMent avec une raison de 1.01. Les ;solutions obtenues ditl~érenL de plus en plus lors,que le pa.s de discrétisation en temps augmente avec une raison géomélriqLIe de plus en plus grande. Les caractéristiques des tests 5 présentés et les temps de calculs respt ctifs sont regroupés dans le table.lu ci-après:
CasPas de tempsProgl-ession duPas de temps Ten-ps de calcul Min pa.s de temps Max. (secondes CPU) I ,3 1 0000 74 2 1 1, I I 000 347 3 0,1 1,01 1000 890 Méthocle Base de Krylov de 25 éléments 185 proposee Les trois exemples présentés ci-dessus parmi tous ceux qui ont permis de valider la méthode de modélisation proposée avec projection dans un espace de Krylov, illustrent bien ses avantages. Le problème d'évolution de grande taille est réduit à la résolution d'un système 10 d'équations différentielles de faible dimension, et les résultats numériques obtenus sont plus précis qu'avec une simulation classique pour un coût moindre.
Dans l'optique d'une utilisation des simulations numériques pour interpréter les essais de puits, I'utilisation des dérivées d'ordre supérieur en temps pour construire la base de Krylov présente un avantage très important car elle permet la simulation directe de la dérivée de la 15 pression par rapport au temps. Cette dérivée est disponible pour la pression au puits mais également pour chaque maille modélisant le gisement et peut être calculée de façon continue à
chaque instant contrairement au cas discret.
Il faut noter enfin que le coût de stockage des informations nécessaires en cours de calcul est identique à celui d'une simulation classique avec discrétisation du temps et résolution d'un 20 système linéaire à chaque pas de temps.
Claims (3)
1) Méthode pour simplifier la réalisation d'un modèle permettant de simuler des écoulements d'hydrocarbures dans un gisement souterrain hétérogène, que l'on discrétise par un maillage en un grand nombre n de cellules élémentaires ou mailles, le modèle étant formé par la résolution dans chacune des n mailles, d'un système d'équations de modélisation des écoulements de fluides, à partir de valeurs initiales connues d'un certain nombre de paramètres physiques, caractérisée en ce que l'on simplifie la construction du modèle en utilisant un espace de Krylov de dimension d très inférieure au nombre n de mailles pour réduire le volume des opérations de résolution.
2) Méthode selon la revendication 1, caractérisée en ce que pour générer l'espace de Krylov, on utilise des dérivées d'ordre supérieur en temps, de façon à obtenir à la fois la pression et ses dérivées par rapport au temps.
3) Méthode selon l'une des revendications 1 ou 2, caractérisée en ce que l'on modélise la circulation de fluides monophasiques.
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| US6519536B1 (en) * | 1999-03-29 | 2003-02-11 | Pirelli Pneumatici S.P.A. | Method for determining the behaviour of a viscoelastic material |
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| US6873946B1 (en) * | 1999-12-01 | 2005-03-29 | The United States Of America As Represented By The Secretary Of The Navy | Zeus code tool a method for implementing same and storage medium storing computer readable instructions for instantiating the zeus code tool |
| GB0021284D0 (en) * | 2000-08-30 | 2000-10-18 | Schlumberger Evaluation & Prod | Compositional simulation using a new streamline method |
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| US7283941B2 (en) * | 2001-11-13 | 2007-10-16 | Swanson Consulting Services, Inc. | Computer system and method for modeling fluid depletion |
| US6819628B2 (en) * | 2003-04-07 | 2004-11-16 | Paradigm Geophysical (Luxembourg) S.A.R.L. | Wave migration by a krylov space expansion of the square root exponent operator, for use in seismic imaging |
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| EP2350810A4 (fr) * | 2008-09-30 | 2013-06-05 | Exxonmobil Upstream Res Co | Résolveur itératif auto-adaptatif |
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|---|---|---|---|
| FZDE | Discontinued |