CN1916967A - 产生具有所要求的几何连续度的参数化曲面的方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种由一组参数化基元曲面产生具有所要求的几何连续度Gi的参数化曲面的方法，包括以下步骤：提供一组参数化基元曲面，每个基元曲面具有边，相邻边通过顶点结合，每个基元曲面具有至少等于所要求的几何连续度Gi的内部连续度Cj，至少两个基元曲面之间在相应边两侧的几何连续度低于所要求的几何连续度Gi。对于每个奇异顶点，所述方法确定一个方程组，其与位于结合至奇异顶点的边两侧的参数化基元曲面参数(包括通常称作控制点的位置坐标)有关，并可在结合的边两侧实现所要求的几何连续度；求解方程组，以获得所述参数。奇异顶点结合着至少一条边，在边的两侧，相邻基元曲面之间的连续度低于所要求的几何连续度Gi。

Description

产生具有所要求的几何连续度的参数化曲面的方法

技术领域

本发明涉及计算机辅助设计领域，特别是计算机辅助产生参数化曲面(parametric surface)。

背景技术

市场上提供有多种系统和程序，用于零部件的设计和零部件的组装，例如本申请人的商标为CATIA的产品。这些所谓的计算机辅助设计(CAD)系统允许使用者构建和处理零部件或零部件组件的复杂的三维(3D)模型。

产生3D计算机图形涉及到各种步骤，包括建模和处理步骤(细分基本网格，转化成参数化曲面，重饰...)。

多种不同的建模技术可以被用于产生一个组件的模型。这些技术包括实体建模、线架建模和曲面建模。实体建模技术是为拓扑学3D模型而提供的，其中3D模型是例如互连的边和表面的集合。从几何学上讲，3D实体模型是限定出封闭表皮的多个修剪和定界曲面的集合。修剪的曲面对应于由边限定边界的拓扑表面。封闭表皮限定出由零部件材料填充的3D空间的边界区域。另一方面，线架建模可以被用于表现作为简单3D线条集合的模型，而曲面建模可以被用于表现作为外表面集合的模型。CAD系统可以组合这些以及其它建模技术，例如参数化建模技术。CAD系统因此而利用边或线条(有时用曲面)提供了对建模对象的表现。建模对象包括多个线条或边；它们可以用各种方式表现出来，例如非均匀有理B样条曲线(NURBS)、Bezier曲线或其它描绘曲线的算法。

关于处理步骤，在对象建模过程中，CAD程序通常使用基本网格(base mesh)。基本网格是由互连的基元多边形例如三角形或四边形形成的网络。

在设计过程中，使用者修改基本网格以获得所需的模型，然后将其转化为多个参数化曲面，例如NURBS即B样条曲面。

关于被建模的产品，新潮的消费产品的特点通常是具有平滑流线形状，其复杂性要超过简单分析表面例如平面、箱体和圆柱体。这样的产品的建模通常需要使用样条曲线和曲面等。在设计产品时，对象曲面的平滑度是主要考虑的。结果，3D建模者通常具有各式各样的用于产生平滑曲面的工具。

在下面的描述中，“曲率”被用作几何术语来表示曲线或曲面偏离完全笔直或平整形状的程度。曲率通常是由局部密切半径的倒数来计算出的。因此，当曲线略微弯曲时，其具有小曲率和大半径，而当曲线剧烈弯曲时，其具有大曲率和小半径。对于圆弧、圆或以它们为基础的曲面，曲率是恒定的；对于更为复杂的形状，例如样条(以及以其为基础的曲面)，曲率沿曲线长度连续变化。

此外，术语“连续度(continuity)”将被用于表示一曲线或曲面上的各个点之间、以及对接曲线或曲面之间的偏离(或关系)。这种关系可以归入不同级别的连续度：C0、C1或C2。C0只表示位置连续性(对接曲线/曲面时的情况也是如此)。在这种情况下，曲线在C0点表现出拐点。类似地，曲面具有沿C0接缝的折痕。对接曲线和曲面彼此接触，但它们没有曲率相似性。C1表示增加了切线连续性的连续度级别，C2增加了曲率连续性。如果曲线上一个点的两侧曲率相等，则曲线是无接缝的。

此外，可以参考G0、G1和G2几何连续度(geometricalcontinuity)，所述几何连续度从数学的角度来看与前者略有不同，如本领域中所公知。例如，对于两个结合的曲线段来说，如果各曲线的n阶导数在结点处具有相同的方向(由某些矩阵限定的比例性就足够了，不要求相等)，则所述曲线段具有Gn连续度。结果，Cn就意味着Gn，但反过来就不一定正确。

在曲面建模的核心技术中，通常使用逐段低阶代数曲面或隐式曲面片。曲面片通常是通过一个格子的控制点而控制的，从而可以变形。使用曲面片时重要的一点是，曲面片必须被适宜地结合，以确保沿曲面片边界的几何连续性。通常，曲面片单元被递归细分，以使局部曲率适应于所要求的连续度。

在各种应用中(例如计算机绘图)，细分曲面，例如Catmull-Clark，被用于逼近(模拟)由基本网格得出的曲面。特别地讲，Catmull-Clark细分曲面目前被用于从任意的网格(即具有任意的拓扑学结构)产生平滑的曲面。它们被描述为对用无限细化过程产生限制。一个关键的概念是细化：通过反复细化初始多边形网格，一系列的网格被产生，它们收敛到所产生的细分曲面。每个新细分步骤产生一个新的网格，其具有更多的多边形单元并且更为平滑。特别地讲，Catmull-Clark细分曲面可以被看作是双三次均匀B样条的产物。重要的一点是，所产生的网格主要包括四边形，因此普通顶点的预期阶数(valence，即坐标数)为4。在这一方面，有时要在开式顶点(open vertex)和闭式顶点(closedvertex)之间作出区分。开式/闭式顶点在本领域中是公知的。简而言之，假定一个顶点v被边E1、E2、En+1包围并结合，以使得En+1＝E1，那么，如果没有边是尖锐边，则该顶点被认为是闭式的。

然而，在CAD领域，细分曲面由于不是参数化的而不常被采用。因此，CAD系统提供了转化算法，以将细分曲面转化成由一组曲面片例如NURBS曲面片组成的参数化曲面。

不过，所产生的参数化曲面仍然导致连续性质量不足。事实上，这些曲面在除下述点之外的任何地方具有曲率连续性：这些点对应于初始基本网格中那些不与四条边关联的顶点，即超常规顶点(extraordinary vertices)。

在这一方面，大多数用于产生参数化曲面的现有技术没有解决超常规顶点所产生的连续性问题。

此外，与本申请相并行的一种方法被公开：其涉及离散傅里叶变换(参考C.Loop：Second Order Smoothness over Extraordinaryvertices，Eurographics Symposium on Geometry Processing，2004)。然而，这种方法被明确地指出仅仅适用于闭式超常规顶点。

因此，简而言之，需要有一种方法来产生参数化曲面，该方法应同时符合下面条件：

-满足给定的几何连续度Gi的要求(例如G1或G2)；

-同时适用于开式顶点和闭式顶点；

-使用局部的线性解析算法，以确保在出现高阶数顶点的情况下，仍具有稳定性。

此外，作为本发明的发明人的最大程度的了解，尽管现有技术中从总体上建议了产生参数化曲面的一些相关特征和变型，但现有技术没有公开下面描述的本发明的具有高度优点的特征。

发明内容

本发明涉及一种由一组参数化基元曲面产生具有所要求的Gi级几何连续度的参数化曲面的方法。所述方法包括以下步骤：提供一组参数化基元曲面，每个基元曲面具有边，相邻的边通过顶点结合，每个基元曲面具有至少等于所要求的Gi级几何连续度的Cj级内部连续度(internal continuity)。这意味着，j大于或等于i，也就是说，所述内部连续度至少涵盖了所要求的几何连续度。相反，至少两个基元曲面之间在公共边两侧的几何连续度低于所要求的Gi级几何连续度。此外，对于每个奇异顶点，例如超常规顶点，所述方法还包括以下步骤：确定一个方程组，其与位于结合至奇异顶点的边两侧的参数化基元曲面参数(包括所谓控制点的位置坐标)有关，并可在结合的边两侧实现所要求的几何连续度；以及求解方程组，以获得所述参数。所述奇异顶点结合着至少一条边，在所述边的两侧，相邻基元曲面之间的连续度低于所要求的Gi级几何连续度。

因此，算法从根本上讲是局部性的，对于每个超常规顶点确定出一套方程组并且对其求解。此外，同时考虑到开式和闭式顶点，开式顶点没有被弃用。此外，构建局部方程可以实现线性解，这反过来又极大地简化或加速了处理过程。在完成处理过程后，由于上述方程组的实质，因此可以达到目标连续度。

在一个实施例中，所述提供一组参数化基元曲面的步骤可以包括：提供基本网格，其具有多个顶点，这些顶点通过边相连，以限定出表面；将基本网格的每个表面转化成一个基元参数化曲面。因此，转化步骤可以由具有任意拓扑结构的基本网格开始工作，并且可以使用Catmull-Clark细分曲面。表面至曲面的测绘可以确保初始拓扑结构被遵从。

在一个改型中，基本网格的顶点包括阶数为4的规则顶点和阶数不为4的不规则顶点；并且所述基本网格具有在顶点和/或边处定义的对比度值；对比度代表的是由网格构建的曲面上的顶点或边的吸引力。对比度可以展示例如初始网格与有限细分曲面之间的差异，或者初始网格与以给定细分级别形成的网格之间的差异。所述转化步骤还包括：

-提供至少三种不同类型的参数化曲面；以及

-对于具有规则顶点并且在表面的顶点和/或边处只具有第一对比度值(例如缺省值)的表面，应用第一种参数化曲面；

-对于具有规则顶点并且在至少一个顶点和/或边具有第二对比度值(例如非缺省值)的表面，应用第二种参数化曲面；以及

-对于具有至少一个不规则顶点的表面，应用第三种参数化曲面。

具有规则顶点并且顶点和边处的对比度为缺省值的表面的一个典型例子是具有4阶顶点和不尖锐边的表面。

具有规则顶点并且顶点和边处的对比度为非缺省值的表面的典型例子是：(i)表面具有至少一个3阶顶点，该顶点位于两个尖锐边的结合部；(ii)表面具有由尖锐边结合的4阶顶点。请注意，位于尖锐边上的3阶顶点不被认为是不规则顶点。因此，这样的表面(包括具有开式顶点的表面)将受到特殊处理。

具有至少一个不规则顶点的表面的一个典型例子是包括由非尖锐边结合的超常规顶点的表面。因此，具有超常规顶点的表面在算法中被区别对待，并且被应用适应性参数化曲面。

此外，如前所述，方案同时考虑到规则和不规则顶点，因此可以考虑采用顶角正交型四面体(tri-rectangular)网格。

因此，提供了一种渐进式的参数化(因此而最优化)方法。所应用的曲面的类型(以及复杂性)被根据对比度的局部值和顶点的性质而选择，从而提供了对建模曲面的适应性精细化。这极大地防止了提供过多的控制点。之后的解方程也因此而变得容易了。

因此，第一种参数化曲面的控制点数量优选少于第二、第三种参数化曲面的控制点数量。

此外，第三种参数化曲面的控制点数量优选多于第一、第二种参数化曲面的控制点数量。

由于应用不同类型的曲面所提供的灵活性，因此在一个改型中，第一、第二和第三种参数化曲面的是B样条类型的，同时还具有不同的结点矢量。

在一个优选实施例中，所提供的参数化基元曲面是B样条类型的，并且所述求解步骤中的参数是B样条控制点的位置坐标。这使得所要解决的问题保持为线性问题成为可能。

在另一个优选实施例中，在确定方程组的步骤，所确定的方程组中的系数被设定为常数，或是根据奇异点的类型而被设定。所述系数可以例如以多边形的形式给出，由各个边的相对长度和边之间的角度获得。随后，本领域技术人员可以根据预期的曲面视觉质量调节所述系数，例如通过试算和误差校正。这样，由于在解方程组之前设定了系数，因此求解问题保持为线性。

请注意，在一个改型中，上述参数可以包括一些系数，例如根据使用者的要求，以使得问题是至少部分非线性的。尽管在这种情况下非线性可能导致求解中的额外成本，但相对于所要求的连续度，如此解出的系数质量可以提高。

前面非常广义地概述了本发明的特征和优点，以便更好地理解后面对本发明所作详细描述。本发明的其它特征和优点将在后面描述，以展现权利要求中限定的主题。本领域技术人员可以理解，这里公开的思想和特定实施例容易被用作基础来修改或设计用于执行与本发明相同目的的其它过程。本领域技术人员还可以理解，这种等价的过程没有脱离权利要求中限定的本发明的精神和范围。通过下面结合附图所作的详细描述，可以更好地理解那些作为本发明独特特点的新颖特征以及其它目的和优点。然而，需要着重指出，附图仅仅是出于解释的目的而给出的，并不意味着限定出本发明的范围。

附图说明

通过下面参照附图所做描述，可以更全面地理解本发明。

图1是广义上显示出本发明优选实施例的流程图。

图2是该优选实施例中处理超常规顶点时的流程图。

图3示出了对象表面转化之后的建模对象的参数化曲面，其中根据该表面应用了不同类型的基元曲面。

图4A示出了另一建模对象的参数化曲面，其中基元曲面的边结合在6阶超常规顶点。

图4B示出了处理完成后获得的图4A中的参数化曲面以及基元曲面的控制点分布。

图4C和4D分别示出了图4A中的参数化曲面的切向和法向等高线轮廓。

图5示出了一个超常规顶点和两个基元曲面以及得出连续性方程所需的系统成分。

具体实施方式

本发明涉及一种方法，其适于应用在CAD软件中。使用者可以通过使用者绘图界面(GUI)来控制处理过程，该界面可以是典型的CAD界面，具有常规的菜单条，以及底部和侧面工具条。所述菜单条和工具条包含一组可供使用者选择的图标，每个图标与一个或多个操作或功能相关联，如本领域所公知。

一些所述图标与用于编辑和/或表现建模对象的软件工具相联系。所述软件工具还可以被分组到各工作台(workbench)中。除非以其它方式设置，否则每个工作台包括一个与其它不同的软件工具子组。特别地讲，一个工作台是编辑平台，其适于编辑建模对象的几何特征。在操作中，设计者可以例如预选择对象的一部分，然后通过选择适宜的图标并且启动适宜的工具而开始操作(例如改变形状、尺寸、颜色等)。

GUI可以例如显示与被显示对象相关的数据(被称作特征树)。数据通常以树形图的方式显示在GUI的左侧。GUI还可以显示其它类型的绘图工具，用以例如方便显示对象的3D定向。

作为示例，本发明的方法可以应用于计算机网络中的配有数据库的PLM系统中。在这种情况下，GUI在一个具有显示器和存储器并且被进一步连接到计算机网络的终端上运行，所述终端可以受益于一个产品数据管理(PDM)系统。PDM系统允许管理多个文件和数据，它们可能具有分层次相关性。因此，多个使用者可以利用例如类似的局部设施和公共环境而以集中的方式对不同的部件/产品进行工作。

这里描述的方法主要是为了有助于设计者产生具有所要求的几何连续度Gi(例如连续度G2)的参数化曲面。下面，假定连续度G2被关注，但要记住本发明的方法可以应用于任何理想级别的连续度。图1在广义上示出了本发明优选实施例的流程图。

参看图1，本方法的处理过程包括第一步骤S10，提供基本网格，其对具有任意拓扑学结构的给定对象(例如图3所示的对象)进行建模。如一般情况，所述网格包括多个通过边相连的顶点，所述便限定出对象的表面。

在步骤S12，所述网格经受曲面细分，例如根据Catmull-Clark法则。如前所述，所述细分导致可以由初始网格复原出平滑的曲面，从而产生具有更多多边形单元并因此而更平滑的新网格。如前所述，除了那些与不与四条边关联的顶点即超常规顶点相对应的点以外，Catmull-Clark曲面在任何地方都具有曲率连续性。因此，将描述可以用于重获所要求的连续度的方案(流程)。

所述处理过程包括另一步骤S14，即数据初始化，其通常包括升级缺省值或使用者设定值。初始化过程可以例如前进到根据缺省值或使用者设定参数而进行曲面修剪。使用者可以例如在考虑到边的边界情况下输入或修改特定的曲面细节。此时各个边可以是尖锐的或平滑的，用以例如模拟外圆角/内圆角特征。

在Catmull-Clark细分之后，对比度(sharpness)值可以在步骤S12或S14被设定和存储。对比度值可以例如被基于网格特征而自动设定，或者同样可以由使用者设定。这样，在需要时，使用者被建议输入对比度的非缺省值(特殊的顶点或边)；对比度的缺省值在其它任何地方都被采用。

接下来，在步骤S16进行这里广以上的参数化步骤(或转化)。在完成参数化步骤之后，程序提供出一组参数化基元曲面(parametric elementary surface)，所述曲面具有由顶点结合的边。这种基元曲面具有内部连续度Cj，其至少等于所要求的连续度G2。例如，如果所要求的连续度为G2，则所产生的基元曲面的内部连续度至少为C2。为了清楚起见，C2级别的内部连续度要求在后面被采用。同内部连续度C1相比，提供内部连续度C2可以改进所产生的曲面的质量。

请注意，在完成参数化步骤后得到的对象几何连续度取决于两个基元曲面，二者在整个公共边处具有更低的连续度。因此，在这个阶段，几何连续度通常低于G2(所要求的连续度)。

所述参数化步骤S16包括转化步骤，其中细分曲面被转化成一组基元曲面。作为转化过程的结果，基本网格的每个初始表面被转化成一个基元曲面。因此，可以实现表面至曲面的测绘，从而基本网格的初始拓扑结构被遵从。结果，建模对象的管理得到简化。

作为示例，所述转化步骤的结果显示于图3中，图中示出了建模对象10的参数化曲面，其中根据对象10的初始表面应用了不同类型的曲面40、42、44。曲面40和42(相应地42和44)具有公共边41(相应地43)。附图标记30、32、34表示表面转化完成后获得的控制点。

可以看到，顶点包括4阶顶点(参看例如顶点20)和阶数不是4的顶点(例如超常规顶点22、24)。此外，位于对象10的平面上的顶点22与位于对象10的顶部尖锐边顶点24、26(请注意，事实上顶点24、26位于两个尖锐边45、47的交叉部)不同。然而，连接着两个尖锐边的3阶超常规顶点通常不被认为是不规则的。因此，考虑到转化步骤，后文中将顶点22称作不规则顶点，而顶点24被认为是半规则顶点。然而，为了将在后面描述的其它目的，将会采用不同的分类方案(后面将提到奇异顶点(singularvertices)，以便不与前面的不规则顶点相混淆)。

此外，如前所述，网格可以在转化步骤之前(例如在步骤S12或S14)与顶点或边上定义的对比度值相联系。所述对比度代表相应顶点或边的局部吸引力。例如，非尖锐边41、43将被赋予缺省值“0”。在与边41和43不同的地方，边45由于构成对象10的尖锐边界边缘而可以例如被赋予缺省值“1”。对比度值可以是二进制的，如上面的例子。然而，优选地，对比度值被存储为0至100的整数值，100代表最大对比度。各种算法可以被用于确定所述对比度值，例如根据初始基本网与有限细分曲面之间的差异。

根据所述定义的对比度值和顶点的性质，所述处理过程接下来可以在转化步骤中提供不同类型的将要被应用的参数化曲面，从而适用于基本网格中存在的各种类型的表面，并且恢复渐进式参数化。

作为示例，在发现初始表面包括具有缺省值的规则顶点20和边41时，应用第一种参数化曲面40。接下来，对于包括边45的表面，也就是说，对比度值为非缺省值，应用第二种参数化曲面44。请注意，相应的表面同时包括规则顶点和半规则顶点24、26(在这里不认为是不规则的)。最后，对于包括不规则或超常规顶点22的表面，应用第三种曲面42。

请注意，由于包括规则顶点以及至少一个具有非缺省对比度值的顶点或边的各种表面在转化算法中被区别考虑，因此所述转化同时适用于网格的闭式和开式顶点。

如我们目前的认识，所应用的曲面的复杂性是相对于局部对比度值和顶点的性质而选择的，由此所应用的曲面的精细化是局部最优化的。特别地讲，第三种曲面42具有大量的控制点32，第一种参数化曲面40中的控制点30的数量少于第二、第三种曲面42、44中的控制点32、34中的数量。换言之，根据所应用的曲面的类型，相应网格中的控制点的数量的密度更多或更少。

控制点的数量可以例如基于赋予的对比度值而计算(值“0”导致标准密度，非缺省值例如“1”或“100”导致密度增加)。

控制点随后可以被移动以局部修改曲面，例如达到两个参数化曲面片之间所要求的给定几何连续度。具有规则顶点和非尖锐边的表面不会导致缺少连续性，从而可以应用低密度曲面。相反，在超常规顶点附近，容易出现不连续性，应当为相应曲面提供网络形式的更密的控制点，从而可以复原所要求的连续度。

非工作控制点因此而被弃用，以使得随后的步骤加速，如后文所述。

现在返回图1，一旦在步骤S16中提供了不同类型的曲面，算法将考虑每个表面并且前进到步骤S20-24，根据表面是否具有超常规顶点而进行区别处理。

在发现超常规顶点的情况下，所述处理过程执行中间均一化步骤S26，在此用于算法后续部分的细节被确定。作为示例，此处可以前进到改变体系，例如从B样条改变到Bézier形式，以便使后续的步骤加速。

然后，对于每个超常规顶点(S28，每个超常规顶点在这里被认为是奇异顶点)，特定的方案被应用，以复原所要求的连续度G2(S30-44)。下面参照图2描述这一方案。

首先，所述方案(流程)区分处理开式顶点、闭式顶点和与尖锐边相连的闭式顶点(分别在S31，S38-40和S38-39)。

在检测到闭式顶点时，定义一个方程组，所述方程组与结合所述顶点的边的两侧基元曲面参数(例如控制点的位置坐标)有关，所述方程组可以在连接所述闭式顶点的边的两侧实现所要求的连续度。然后，所述方程的系数被计算并且方程被求解，如后文详细描述(S38-40)。

对于开式顶点(S31)，根据与所述开式顶点结合的边，在步骤S32计算不同的区间(sectors)。区间被定义为由结合所述开式顶点的两个接近尖锐边限定的空间。然而，如果只存在一个尖锐边，则只有一个区间被确定，其包括围绕所述顶点的边形成的圆所限定的空间。在这种情况下，对于每个计算出的区间分别定义一个方程组，以便实现所述区间内的结合边两侧的所要求的几何连续度。

接下来看定义的方程组，所述方程组与结合至所述顶点的所有关联边两侧的基元曲面参数有关。请注意，在闭式顶点的情况下，所述边涉及所有相关的边，而在开式顶点或由尖锐边结合的闭式顶点的情况下，则局限在从属于单一区间的边。

所述方程实现结合边两侧的几何连续性。特别地讲，对每个被考察的顶点定义方程组；因此，难度取决于被考察的顶点的数量。方程依从于固定的约束，如下面所解释。

参看图5，考虑两个对接的B样条曲面S1和S2，以及从超常规顶点28引出的用于定义各个边Eu、Ev、r、Es的局部方向的单位矢量u、v、r、s。在本例中，顶点28是奇异顶点，因为它结合了边Ev，r，在该边的两侧，曲面S1和S2之间的连续度假定低于所要求的连续度G2。

利用常规的符号方法，连续度G0产生下面的条件：

S1(0，v)＝S2(r，0)＝C(t)                          (1)

其中C(t)是曲面S1和S2的公共曲线。连续度G1适用于下面的条件：

$\mathrm{\α}\left(t\right)\frac{\∂S1(0,t)}{\∂u}+\mathrm{\β}\left(t\right)\frac{\∂S2(t,0)}{\∂r}+\mathrm{\γ}\left(t\right)\frac{\∂S2(t,0)}{\∂s}=0,\mathrm{\α}\left(t\right),\mathrm{\γ}\left(t\right)>0---\left(2\right)$

或等价于：

$\mathrm{\α}\left(t\right)\frac{\∂S1(0,t)}{\∂u}+\mathrm{\β}\left(t\right)\frac{\∂S1(0,t)}{\∂v}+\mathrm{\γ}\left(t\right)\frac{\∂S2(t,0)}{\∂s}=0---\left(3\right)$

其中α、β、γ是形状参数，即连续度条件方程的系数，可能取决于t，如后文中详细描述。接下来，假定方程(2)或(3)中的条件满足，则在下述条件下可实现连续度G2：

${\mathrm{\α}}^2\frac{{\∂}^{2}S1}{{\∂u}^2}+{\mathrm{\γ}}^2\frac{{\∂}^{2}S2}{{\∂s}^2}+2\mathrm{\β\γ}\frac{{\∂}^{2}S2}{\∂r\∂s}+{\mathrm{\β}}^2\frac{{\∂}^{2}S2}{{\∂r}^2}+\mathrm{\δ}\frac{\∂S2}{\∂r}+\mathrm{\η}\frac{\∂S2}{\∂s}=0---\left(4\right)$

其中为了保持清楚，符号(0，t)、(t，0)等被去掉。

上面的各个方程暗中涉及曲面控制点的位置坐标。

至此，还没有太多地介绍形状参数，即系数α、β、γ...；它们可以例如设置为常数，例如α₀、β₀、γ₀...；或者可以根据奇异点的类型设置(步骤S36或S40)，可能是由使用者设定的。

还可以将这些系数α、β、γ...选择为缓慢变化的多项式而预参数化(例如通过试算和误差校正)，从而逐渐提高最终的绘图质量。

作为示例，参照图4A，α₀、β₀、γ₀、δ₀、η₀的适宜数值分别为1.0、-0.618034、1.0、0.0和0.0。

所述系数仍可以给出低阶多项式形式，其取决于局部边的相对长度和边之间的角度。此外，在解方程组之前，这些系数被计算出来(S36或S40)，由此解上述方程组就仅仅是线性问题，例如随着奇异顶点的数量而线性增大。本领域的技术人员可以构想出各种的系数形式。

在完成求解步骤之后，根据返回的新的控制点位置更新围绕每个奇异顶点的NURBS(S42)。

请注意，结合至尖锐边的闭式顶点被上述流程(S38-39)检测，并随后以与开式顶点相同的方式处理(由于这两种情况之间存在拓扑学相似性)，从而复原所要求的连续度。因此，闭式和开式(也结合至尖锐边)超常规顶点都被认为是奇异顶点，并且在本流程中以类似方式处理。

与此不同，在前面描述的转化步骤(S16)区别对待包含不规则顶点(例如超常规开式顶点)的表面和包含结合至尖锐边的顶点(半规则性)的表面。

算法在步骤S44结束。

这样，在完成后，上述流程返回到目标参数(相关控制点的位置坐标)，并且据此修改曲面，从而获得所要求的连续度，在此为G2。结果，由于对接曲面之间的结合部的曲率(至少部分地)成比例，因此所产生的结合部是无接缝且不可视觉分辨的。

这种情况在图4A-D中例举，图中显示了建模对象10的参数化曲面，其中基元曲面具有结合在6阶超常规顶点28的边51-56，并且在完成处理过程中后获得控制点的分布(图4B)，或是获得切向或法向等高线轮廓(highlight contour)。

可以看出(图4B)，所获得的控制点分布显示出在G2条件下获得的典型无接缝轮廓。所达到的曲面质量还反映在图4C-D中的切向或法向等高线轮廓中。

可以看到，上面总体上描述的算法可以实现给定的几何连续度，从根本上讲是局部性的，还同时考虑到开式和闭式顶点，并且能够实现线性求解。由于执行的是表面至曲面的测绘，因此这种算法确保了基本网格的初始拓扑结构被遵从。这里，由表面至表面的途径被考察。本发明的不同之处在于，通过局部关联方案而复原几何连续性(在每个奇异点周围)，因此所需控制点的数量少于采用由曲面至曲面的途径。因此，本发明完全脱离了现有的普通方法。

Claims (13)

1.一种由一组参数化基元曲面产生具有所要求的几何连续度Gi的参数化曲面的方法，包括以下步骤：

-提供一组参数化基元曲面，每个基元曲面具有边，并且相邻的边通过顶点结合，每个基元曲面具有至少等于所要求的几何连续度Gi的内部连续度Cj，至少两个基元曲面之间在相应边两侧的几何连续度低于所要求的几何连续度Gi；

-对于每个奇异顶点：

-确定一个方程组，其与结合至所述奇异顶点的边两侧的参数化基元曲面参数有关，所述方程组可在所述结合的边的两侧实现所要求的几何连续度；以及

-求解所述方程组，以获得所述参数；

其中，奇异顶点结合着至少一条边，在所述边的两侧，相邻基元曲面之间的连续度低于所要求的几何连续度Gi。

2.如权利要求1所述的方法，其特征在于，所述提供一组参数化基元曲面的步骤包括：

-提供基本网格，其具有多个顶点，这些顶点通过边相连，以限定出表面；

-将基本网格的每个表面转化成一个基元参数化曲面。

3.如权利要求2所述的方法，其特征在于，在所述提供基本网格的步骤：

-基本网格的顶点包括阶数为4的规则顶点和阶数不为4的不规则顶点；并且

-所述基本网格具有在顶点和/或边处定义的对比度值；

所述转化步骤还包括：

-提供至少三种不同类型的参数化曲面；

-对于具有规则顶点并且在表面的顶点和/或边处只具有第一对比度值的表面，应用第一种参数化曲面；

-对于具有规则顶点并且在至少一个顶点或边处具有第二对比度值的表面，应用第二种参数化曲面；以及

-对于具有至少一个不规则顶点的表面，应用第三种参数化曲面。

4.如权利要求3所述的方法，其特征在于，所述基本网格根据Catmull-Clark细分规则被细分。

5.如权利要求4所述的方法，其特征在于，所述参数化曲面包括样条曲面。

6.如权利要求5所述的方法，其特征在于，第一种参数化曲面的控制点数量少于第二、第三种参数化曲面的控制点数量。

7.如权利要求6所述的方法，其特征在于，第三种参数化曲面的控制点数量多于第一、第二种参数化曲面的控制点数量。

8.如权利要求5所述的方法，其特征在于，第一、第二和第三种参数化曲面的是B样条类型的，具有不同的结点矢量。

9.如权利要求1所述的方法，其特征在于，

-所提供的参数化基元曲面是B样条类型的；以及

-所述求解步骤中的参数是B样条控制点的位置坐标。

10.如权利要求1所述的方法，其特征在于，在确定方程组的步骤，所确定的方程组中的系数被设定为常数。

11.如权利要求1所述的方法，其特征在于，在确定方程组的步骤，所确定的方程组中的系数根据奇异点的类型而被设定。

12.如权利要求1所述的方法，其特征在于，所提供的参数化基元曲面是B样条类型的，并且所述求解步骤中的参数是：

-用于实现所要求的连续度的方程中的系数；

-B样条控制点的位置坐标。

13.一种由一组参数化基元曲面产生具有几何连续度G2的参数化曲面的方法，包括以下步骤：

-提供基本网格，其具有多个顶点，这些顶点通过边相连，

以限定出表面，所述基本网格根据Catmull-Clark规则被细分；

-将基本网格的每个表面转化成一个具有内部连续度C2的基元参数化曲面，至少两个基元曲面之间在相应边两侧的几何连续度低于所要求的几何连续度G2，每个基元曲面具有边，并且相邻的边通过顶点结合；

-对于每个奇异顶点：

-确定一个方程组，其与结合至所述顶点的边的两侧的参数化基元曲面控制点坐标位置有关，所述方程组可在所述结合的边的两侧实现所要求的几何连续度；

-设定所述方程组的系数；以及

-求解所述方程组以获得所述坐标位置；

其中，奇异顶点结合着至少一条边，在所述边的两侧，相邻基元曲面之间的连续度低于所要求的几何连续度G2。

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