DE2618823A1

DE2618823A1 - Generator zur erzeugung periodischer folgen unter verwendung gewoehnlicher arithmetik

Info

Publication number: DE2618823A1
Application number: DE19762618823
Authority: DE
Inventors: Bhaskarpillai Gopinath; Robert Paul Kurshan
Original assignee: Western Electric Co Inc
Current assignee: AT&T Corp
Priority date: 1974-09-11
Filing date: 1976-04-29
Publication date: 1977-11-10
Also published as: SE410777B; FR2350007A1; FR2350007B1; GB1490964A; BE840954A; DE2618823C3; SE7604779L; DE2618823B2; US3963905A; CA1067968A

Description

BLUMBACH · WESER · BERGEN . KRAMER ZWIRNER . HIRSCH

PATENTANWÄLTE IN MÜNCHEN UND WIESBADEN

Postadresse München: Patentconsult 8 München 60 Radedcestraßa 43 Telefon (03?) S83603/883604 Telex 05-212313 Postadresse Wiesbaden: Patentconsult 62 Wiesbaden Sonnenberger Straße 43 Telefon (06121)562943/561998 Telex 04-186237

Western Electric Company, Incorporated Gopinath 4-4 New York, N. Y., USA

Generator zur Erzeugung periodischer Folgen unter Vervrendung gewöhnlicher Arithmetik

Die Erfindung betrifft Generatoren zur Erzeugung periodischer Folgen.

Bekanntlich können (periodische) Zwei-Pegel-Pseudozufallsfolgen durch mit Modulo-2-Arithmetik arbeitenden Logikschaltungen erzeugt werden, die in Rückkopplungskombination mit binären Schieberegistern angeordnet sind. Mehrfachpegel-Pseudozufallsfolgen sind jedoch weniger gebräuchlich. Mehrfachpegelfolgen kann man dadurch erreichen, daß man vorgewählte Teile binärer Pseudozufallsfolgen gruppiert und die Gruppen als Repräsentanten von Mehrfachpegel-Binärsignalen betrachtet. Alternativ dazu können mehrere parallele binäre Schieberegister verwendet werden, und ihre AuqgLngssignale können in Modulo-2 «-Arithmetik (wobei N die Anzahl der

Schieberegister ist) verarbeitet werden, um auch ein Mehr-München : Kramer · Dr. Weser · Hirsch — Wiesbaden: Blumbach · Dr. Bergen · Zwirnpr

.7 09845/0364

fachpegelausgangssignal zu bilden. Letztere Lösung ist in der US-PS 3 780 275 für eine Mo<
ben, wobei ρ eine Primzahl ist.

der US-PS 3 780 275 für eine Modulo-p^N-Arithmetik beschrie-

Die erwähnten Lösungen zur Pseudozufallssignalerzeugung führen lediglich zu einer einzigen Folge maximaler Länge, und nicht zu einer großen Anzahl vorgeschriebener Folgen, und eine Steuerung der Wellenformcharakteristiken existiert nicht. Zudem ist bei den erwähnten Lösungen die Verwendung verfügbarer Speicher nicht notwendigerweise optimal.

Die Erfindung bezieht sich auf eine Klasse von Mehrfachpegelschaltungen, deren charakteristische Funktionen zyklotomische Polynome sind. Jede Schaltung dieser Klasse, die hier "zyklotomische Schaltung" genannt wird, umfaßt ein Schieberegister, das Mehrfachpegelsignale zu speichern vermag, und Rückkopplungseinrichtungen. Die Rückkopplungseinrichtung umfaßt eine Vorrichtung zum Multiplizieren des Ausgangssignals vorbestimmter Stufen des Schieberegisters mit ausgewählten ganzen Zahlen und eine Vorrichtung zum Addieren der multiplizierten Signale in gewöhnlicher, d. h., Nichtmodulo-Arithmetik. Die addierten Signale werden der ersten Stufe des Schieberegisters zugeführt. Die multiplizierenden ganzen Zahlen innerhalb der Rückkopplungsvorrichtung sind so ausgewählt, daß sie bewirken, daß die charackteristische Funktion der zyklotomischen Schaltung ein zyklotomisch.es

10 3 8 k 5 / 0 3 6

Polynom ist.

Der Ausdruk "gewöhnliche" oder "Nichtmodulo¹¹-Arithmetik wird hier zur Unterscheidung vom Ausdruck "Modulo"-Arithmetik verwendet« Bei der gewöhnlichen Arithmetik ist (6+8) = 14, während bei der Modulo-1O-Arithmetik (6+8) = ist, da Zahlen oberhalb 9 nicht existieren. Die Benutzung der Nichtmodulo-Arithmetik erlaubt die vorteilhafte Verwendung von Analogschieberegistern, beispielsweise CCD-Schieberegistern (CCD = Charge Coupled Device, d. h. ladungsgekoppelte Vorrichtung), und erlaubt die Erzeugung einer großen Anzahl Folgen, welche Zahl lediglich durch den Rauschpegel im System und durch den dynamischen Bereich begrenzt ist.

Zyklotomische Schaltungen sind insbesondere nützlich für Minimalspeicher-Signalgeneratoren vorgeschriebener Periode. Bei der Ausführung von Minimalspeichersignalgeneratoren wird die vorgeschriebene Periode in eine Vielzahl von die Potenz einer Primzahl darstellenden Faktoren (im Folgenden kurz Primzahlpotenzfaktor genannt) zerlegt. Entsprechend einem Jeden Primzahlp.otenzfaktor wird eine zyklotomische Schaltung verwendet zur Entwicklung einer Folge mit einer Periode, die dem Primzahlpotenzfaktor

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gleich ist. Die Ausgangssignale der einzelnen Schaltungen aus der Vielzahl zyklotomischer Schaltungen werden in einem Transversal-Netzwerk kombiniert, um die gewünschte vorgeschriebene Periodenfolge zu bilden. Die Rückkopplungskoeffizienten der zyklotomischen Schaltungen der Primzahlpotenzperioden werden auf 0, 1 und -1 begrenzt.

Zyklotomische Schaltungen entwickeln eine Ausgangssignalfolge steuerbarer Amplitudencharakteristiken. Diese Charakteristiken werden durch die den Schieberegistern auferlegten Anfangsbedingungen und bei manchen Ausfüfrungsformen durch ein mit den Schieberegisterstufen der zyklotomischen Schaltungen verbundenes Transversal-Netzwerk gesteuert.

Im Folgenden wird die Erfindung an Hand von Ausführungsformen näher erläutert. In der zugehörigen Zeichnung zeigen:

Fig. 1 ein generelles Blockdiagramm eines Rekursivsystems, das eine periodische Ausgangssignalfolge y_n erzeugt;

Fig. 2 ein Blockdiagramm einer erfindungsgemäßen Vorrichtung;

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Fig. 3 spezielle Zwischenverbindungen der Vorrichtung gemäß Fig. 2, die zur Erzeugung einer Periode von 90 ausgelegt ist; und

Fig. 4 eine Anwendung eines Quantisierelementes zur Kompensation des nichtidealen Betriebsverhaltens des Elementes der Fig. 2.

Das Blockdiagramm eines Systems zur Erzeugung einer periodischen Folge y ist in Fig. 1 gezeigt. Ein Register 10 ist in seiner allgemeinsten Form ein Parallel-Ein/Brallel-Aus-Analogregister mit k stufen. Dies ist der Speicher des Systems. Das Ausgangssignal des Registers 10 ist ein x_ß-Vektorsignal, dessen Komponenten die Zustände des Registers zur Zeit η angeben. Die periodische Folge y wird erzeugt durch eine in einem h-Netzwerk 30 an χ vorgenommene Transversal-Operation h (im allgemeinen nichtlinear). Der nächste Speicherzustand X_n+1 wird in einem f-Netzwerk 20 dadurch erzeugt, daß der Signalvektor χ mit einer Vektorfunktion f behandelt und im Register 10 χ durch X_n+1 ersetzt wird. Die das System gemäß Fig. 1 mathematisch beschreibenden Gleichungen sind

^xn+1

0 3845/0364

Der Operator f in Gleichung (1) kann nichtlinear sein, obwohl er für den Zweck der vorliegenden Erfindung darauf begrenzt ist, "bei 0 einen festen Punkt zu haben (d. h., f(O) = 0) und in der Umgebung von 0 analytisch zu sein.

Damit die Folge χ periodisch ist, muß eine kleinste ganze Zahl ρ existieren derart, daß x_n+O = X_n ist. Dies ist natürlich eine Definition der Periodizität. Da auf Grund von Gleichung (1) X_n+1 = f(x_n) ist, kann x_n+p umgeschrieben werden als x_n+ü = f^(x_n)> wobei f^p eine p-fache Komposition von f ist. Dies bedeutet, daß x_n+O = X_n = f^(x_n) oder daß f^p = I ist, wobei I die Identitätsdarstellung ist. Man kann deshalb sagen, daß f^p p-periodisch ist, wobei Periodizität definiert ist als die kleinste ganze Zahl p, bei welcher f^p gleich der Identitätsdarstellung I wird.

Der lineare Term in der Taylor-Entwicklung von f , als L bezeichnet, wird der lineare Teil von f genannt. Man kann zeigen, daß ein Ersetzen von f durch L die Rekursionsperiode nicht ändert und daß dementsprechend Nichtlinearitäten in f die Periode nicht vergrößern können, oder für eine gegebene Periode Nichtlinearitäten in f den erforderlichen Speicher nicht reduzieren können. Zur bequemen und leichten Durchführung ist f deshalb darauf beschränkt, eine lineare Darstell ung L zu sein.

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Man kann auch zeigen, daß für irgendeine gewünschte Periode ρ (die dargestellt werden kann durch die

r H, kanonische Primzahlzerlegung ρ = -fr p. ) der minimal

i=1 ^x erforderliche Speicher k

ist, wobei 8=1 ist, wenn der größte gemeinsame Teiler von 4 = 2 ist (bezeichnet mit (p,4)=2), und wobei ansonsten 6=0 ist. Gleichung (3) kann auch ausgedrückt werden als k = Sk_± - I , mit k_A HKp^). Die Euler-Funktion $ (P₁ ¹) hat einen Wert, der gleich der Anzahl der positiven ganzen Zahlen ist, die kleiner als p. und relative Primzahlen zu P₁ sind, in Kurzform: Es ist bekannt, daß f (P₁ ) gleich ^I) ist.

Aus Obigem kann für eine gegebene Periode ρ der erforderliche Minimalspeicher zur Ausführung des Systems gemäß Fig. 1 berechnet werden. Tabelle 1 zeigt den erforderlichen Speicher für Perioden im Bereich von 1 bis 61. Tabelle 2 zeigt die erhältliche maximale Periode für eine gegebene Speichergröße im Bereich von k = 1 bis k = 50. Tabelle 2 entstand dadurch, daß eine erweiterte Tabelle 1 bei jeder gegebenen Speichergröße nach der maximalen Periode durchsucht wurde. Beispielsweise entspricht k = 8 in Tabelle 1 Perioden 16, 21, 28, 36, 40, 42 und 60. Tatsächlich ist 60 die mit einem Speicher k = 8 erhältliche maximale Periode.

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-•-

Tabelle 1

Periode Speichergröße Periode Speichergröße

1	1	31	30
2	1	32	16
3	2	33	12
4	2	34	16
5	4	35	10
6	2	36	8
7	6	37	36
8	4	38	18
9	6	39	14
10	4	40	8
11	10	41	40
12	4	42	8
13	12	43	42
14	6	44	12
15	6	45	10
16	8	• 46	22
17	16	47	46
18	6	48	10
19	18	49	42
20	6	50	20
21	8	51	18
22	10	52	14
23	22	53	52
24	ON	54	18
25	20	55	14
26	12	56	10
27	18	57	20
28	8	58	28
29	28	59	58
30	6	60	8
		61	60

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Tabelle 2

Speichergröße Maximale Periode

1 2

2 6 4 12 6 30 8 60

10 120

12 210

14 420

16 840

18 1260

20 2520

24 5040

26 9240

28 13860

30 27720

32 32760

34 55440

36 65520

38 120120

40 180180

42 360360

46 720720

50 942480

70984S/0364

AS

Entsprechend den erfindvmgsgemäßen Prinzipien müssen für die

r ⁴I Erzeugung von Folgen mit einer Periode ρ = -π- p. , r unab-

i=1 ¹ hängige Teilperioden erzeugt und zur Bildung der Periode ρ kombiniert werden (mit der einzigen Ausnahme, daß r-1 Teilperioden erzeugt werden, wenn (p,4)=2). Jede Teilperiode i wird mit einem unabhängigen Register i des Speichers k. und einem unabhängigen linearen Rückkopplungsnetzwerk L. erzeugt. Wenn für L^ die Form

0 1

0 0

0 0 0

0 0

1 0

0 1 0

0 0

4 4

gewählt wird, wobei X_n+1 = I^x* ^is"t und x~^ und Spaltenvektoren sind, die mit

(x_n)_k beginnen und auf Cx_n+-I)-J bzw i

können folgende Beobachtungen gemacht werden

C ist und

den Termen (x_ß+1)_k und

X^)₁ abnehmen,

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A) L. repräsentiert die Abbildung (Mapping) eines x": Vektors

(einer Folge der Periode p. auf einen χ^-Vektor, wobei ^ede Komponente von X_n+1, mit Ausnahme der letzten Komponente, von einer einzelnen Komponente von x_ß abgeleitet wird. Spezieller

ausgedrückt: (x*₊₁)^ = (x^) ^_-1 für alle k_i>j >1, während

ist.

B) Diese Wahl von L. vereinfacht die Schaltungsanordnung stark, da das Parallel-Register der Fig. 1 durch ein Schieberegister ersetzt werden kann, das von Natur aus die Funktion

erzeugt.

C) Die (x ,j).j-Vektorkomponente kann in einem L.-Rückkopplungsnetzwerk erzeugt werden, das mit Jeder Schieberegisterstufe über ein Multiplikationsnetzwerk verbunden ist, das ^edes Oc).* niit einer Konstanten ß^ multipliziert, und einem Additionsnetzwerk, das die Summe entsprechend Gleichung (5) bildet. Diese Anordnung ist in Fig. 2 ge-

Ί Ί zeigt, in welcher die Produkt signale ^β-ί(^χ _η)ή entsprechend

Gleichung (5) summiert und in die erste Stufe des ersten Schieberegisters eingegeben wird, und die Produktsignale

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ßi(x )a werden entsprechend Gleichung (5) summiert und in die erste Stufe des i-ten Registers eingegeben.

Man kann ferner zeigen, daß, wenn die Koeffizienten ßi auf ganze Zahlen beschränkt werden, notwendige Voraussetzungen für die Wurzeln von ψ(Λ.) bewirken, daß die Determinante L. - ΛΙ gleich dem zyklotomisehen Polynom der Reihe p. ist, d. h.

k ^a

Σ ß, λ^κ ~ ^α . (7)

5=1 ³

Da alle Koeffizienten eines zyklotomisehen Polynoms der Primzahlpotenzreihe 0 oder 1 sind, sind alle ß's entweder 0 oder -1. Tatsächlich kann man zeigen, daß jeder (p. )-te Abgriff, wenn man das Schieberegister in Signalübertragungsrichtung betrachtet (in Fig. 2 von links nach rechts), einen Multiplikationsfaktor -1 oder eine Polaritätsumkehr aufweist, und daß alle anderen Abgriffe einen Multiplikationsfaktor 0 haben.

Das Vorstehende ist richtig für alle p, für die (p,4) Φ 2 gilt. Wenn (p,4) = 2 ist, muß die kanonische Primzahlen-

zerlegung von ρ den Faktor 2 enthalten, in weihem Fall ρ

τ·-1 ^i
als 2 ff p. geschrieben werden kann und lediglich r-1

i=1 ¹
8/9

70 98 4 5/036 4

Register zur Erzeugung der Periode ρ erforderlich sind.

α. Der einsame Faktor 2 kann mit irgendeinem der p^-Terme kombiniert und über eine L.-I4atrix erzeugt werden, deren charakteristisches Polynom ein zyklotomisches Polynom der Reihe 2* ist. Die Koeffizienten eines zyklotomischen Polynoms der Reihe 2 sind +1 oder 0. Was die Hardware-Ausführung betrifft, wird das spezielle p. , das zur Kombination mit dem Faktor 2 ausgewählt worden ist, in exakt der gleichen Weise aufgebaut, als wäre es nicht kombiniert, mit der Ausnahme, daß im Rückkopplungsweg das Signal eines jeden ungeraden Nicht-Null-Abgriffs an Stelle von -1 mit +1 multipliziert wird.

Die vorstehend abgeleiteten zyklotomischen Polynome und die resultierenden zyklotomischen Schaltungen sind lediglich eine Art einer Klasse von Schaltungen, deren charakteristische Funktionen zyklotomische Polynome sind. Diese Schaltungen, die hierjzyklotomische Schaltungen genannt werden, sind Schaltungen, die ein Schieberegister mit einer bestimmten Stufenzahl aufweisen sowie ganzzahlige Rückkopplungskoeffizienten, die einer jeden Stufe zugeordnet sind und das Ausgangssignal einer jeden Stufe multiplizieren, und eine Nichtmodulo-Summiereinrichtung, die auf die mit den ganzen Zahlen multiplizierten Signale anspricht und ihr Ausgangssignal der ersten Stufe

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des Schieberegisters aufdrückt. Zyklotomische Schaltungen verwenden im allgemeinen ohne die zuvor beschriebene Primzahlpotenzzerlegung keinen Minimalspeicher bei ihrer Folgenerzeugung. Diese Schaltungen haben jedoch den unterscheidenden Vorteil gegenüber bekannten Schaltungen, daß sie immer ganzzahlige Koeffizienten als Faktoren benutzen. Dies erlaubt eine einfache Ausführung und einen fehlerfreien Betrieb.

Ein zyklotomisches ("kreisteilendes") Polynom der Ordnung m, F_m(M genannt, ist definiert als ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten, deren Wurzeln alle primitive m-te Wurzeln von eins sind (d. h., r^m = 1, und r¹¹ Φ 1 für 0<n<m). Aus dieser Definition kann explizit bestimmt werden, daß

_m =TTU- e^^27fS), (8)

wobei das Produkt über alle im Bereich 1^d<m auftretenden d's gebildet wird, so daß d und m relative Primzahlen sind. Die Anzahl der d's bestimmt den Grad des Polynoms F (λ). Die Anzahl der d's innerhalb des Bereichs findet man durch Bewerten der Euler-Funktion f(m) und Hinzufügen einer 1 zum Ergebnis. Die Euler-Funktion f(^m) ist tatsächlich definiert als eine ganze Zahl, die gleich der Anzahl positiver ganzer Zahlen ist, die kleiner oder gleich m sind und mit m außer 1 keine ganzzahligen Faktoren gemeinsam haben (solche ganze

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Zahlen werden relative Primzahlen zu m genannt). Wenn-m geschrieben wird als Produkt der Potenzen von Primzahlen,

N oc.
m = I P_k ^K (9)

kann man zeigen, daß

^N (<V-1)
V(m) = Σ Cp_k ] [p_k - 1] (10)

Wenn beispielsweise m = 30 ist, ist ^(m) = 7» und somit ist die Anzahl der relativen Primzahlen zu 30 gleich 7+1 oder 8. In der Tat handelt es sich bei den Zahlen, die relative Primzahlen zu 30 sind, um 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23 uns 29. Diese Liste enthält tatsächlich genau acht Zahlen. Im Hinblick auf Gleichung (9) kann die Funktion F (^) der Gleichung (7) umgeschrieben werden als

P(m)
F_m(X) =TT Pl- exp j(2rrd_v/m)] . (11)

Für m = 30 kann Gleichung (11) umgeschrieben werden in

2n13

³⁰ )ft-e )

^19 .12fh17 ^^ (12)

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Man beachte, daß alle Wurzeln in komplex konjugierten

,125V29 -.12*

Paaren auftreten, d. h. e._o,j = e ^ , was die

^ Z^

komplex Konjugierte von e ^ ist. Eine Umwandlung \oi (12) in Kartesische Koordinaten ergibt

F₃₀(Tv) = tv. + K -K- Λ - \ +A+ 1 (13)

mit den erwarteten reellen ganzzahligen Koeffizienten. Interessanterweise sind alle Nicht-Null-Koeffizienten von F(A) in Gleichung (13) entweder +1, -1 oder Null. Diese Koeffizienten entsprechen den ß .-Koeffizienten der Gleichungen (5) und (7). Somit kann eine zyklotomische Schaltung für ein Polynom des Grades 30, obgleich nicht mit minimalem Speicher, aufgebaut werden mit einem einzigen Schieberegister (der Länge 8) und einem einzigen L^Netzwerk der in Fig. 2 gezeigten Art. Speziell ausgedrückt gilt für die korrelierenden Gleichungen (7) und (13) für das L,,-Netzwerk gemäß Fig. 2: B₁ = -1, B₂ = 0, ß₃ = 1, ß₄ = 1, ß₅ = 1, ß₆ = 0, B₇ = 1 und B₈ =-1.

Wie durch obiges Beispiel erläutert wird, schaffen zyklotomische Polynome glücklicherweise sehr erwünschte charakteristische Polynome, und zwar auf Grund ihrer extremen Einfachheit. Z. B. sind für k <105 oder für ein k, das ein Produkt aus zwei Primzahlen ist, die Koeffizienten von F(h) alle 0 oder +1.

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-V- 2R18823

aa

Für ein k, das eine Potenz einer einzigen Primzahl darstellt, sind die Koeffizienten alle 0 und +1; und für k < 385 gehen die Koeffizienten nicht über 2 als Absolutwert hinaus. Das bedeutet natürlich, daß in allen praktisch interessierenden Fällen die Rückkopplungskoeffizienten des Netzwerks 20 in Fig/1 0 und + 1 sind; das heißt, es besteht entweder keine Verbindung, eine direkte Verbindung oder eine negative Verbindung.

Gleichung (2) oben definiert eine Operation h, welche das Mehrfachpegel-Vektorsignal χ in ein Mehrfachpegel-Skalarsignal y umformt. Die Verwendung des h-Operators erlaubt auch das Formen von Nichtlinearitäten im Ausgangssignal y, um anderen Bedingungen zu genügen, z. B. der Anpassung von y an eine gewünschte Norm, das Verteilen der Energie des Ausgangssignals über den Frequenzbereich, usw.

Die Periodizität des Ausgangssignals ist natürlich unabhängig von h durch die Periodizität der Folge X_n garantiert. Die einzige Anforderung an h besteht deshalb darin, daß es die Rekursionsperiode nicht verkleinert. Man kann zeigen, daß es eine ausreichende Bedingung für h darstellt, um die Periode ρ zu erhalten, daß der lineare Teil von h die Periode von χ beibehält. Manlann. ferner zeigen, daß diese Bedingung "erfüllt ist, wenn h eine Funktion eines einzigen Ausgangs-

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signals von jedem der Schieberegister ist, die die Reihen der relativen Primzahlperioden erzeugen. Da die von den Schieberegistern der Fig. 2 erzeugten Folgen relative Primzahlen sind, die entsprechend der Primzahlzerlegung der Periode ρ bestimmt worden sind, braucht die h-Funktion der Fig. 2 nur auf ein einziges Ausgangssignal eines jeden Schieberegisters der Fig. 2 einzugehen, um keine Reduzierung der Ausgangssignalperiode zu erzeugen.

Fig. 3 zeigt den Reihengenerator der Erfindung für eine Periode ρ = 90. Ein Schieberegister 11 erzeugt die Periode (2)(5), während ein Schieberegister 12 die Periode 3 erzeugt. Die gewählte h-Funktion ist einfach die Summenfunktion eines einzigen Ausgangssignals der Register 11 und 12. Wie oben erwähnt worden ist, stellt die Verwendung nur eines einzigen Ausgangssignals von jedem Register sicher, daß das Transversal-Netzwerk h die Periode ρ nicht verringert.

Erfindungsgemäß ist die für das Schieberegister 11 erforderliche Stufenzahl (5¹~¹)(5-1) oder 4. Jeder 5¹"¹ oder erste Abgriff ist nicht Null, und da die Periode einen inultiplikativen Faktor 2 aufweist, hat jeder ungerade Nicht-Null-Abgriff (in der Signalflußrichtung gerechnet) einen Multiplikationsfaktor +1, während jeder gerade Nicht-Null-Abgriff einen -Multiplikationsfaktor -1 ajfweist. Diese Rückkopplungs-

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anordnung ist in Fig. 3 mit zwei Summierschaltungen dargestellt; einer invertierenden (die Polarität umkehrenden) Summierschaltung 14, die mit Abgriffen 2 und 4 des Registers 11 verbunden ist, und einer nichtinvertierenden Summierschaltung 15, die mit den Abgriffen 1 und 3 des Registers 11 und mit dem Ausgangstor der Summierschaltung 14 verbunden ist. Das Ausgangssignal der Summierschaltung 15 wird auf das Eingangstor des Registers 11 geführt.

Die Stufenzahl im Schieberegister 12 ist (3²"¹)(3-1) oder

2 1

6, und Jeder 3 "* oder dritte Abgriff hat einen Multiplikationsfaktor -1. Dementsprechend ist in der Darstellung der Fig. eine invertierende (polaritätsumkehrende) Summierschaltung 16 mit Abgriffen 3 und 6 des Registers 12 verbunden und spricht auf diese an, und das Ausgangssignal der Summierechaltung 16 wird auf das Eingangstor des Registers 12 geführt. Die Ausgangssignale der Register 11 und 12 werden auf einen Analogaddierer 13 gege ban, der die Ausgangssignale der Register 11 und 12 kombiniert, um die gewünschte Folge der Periode 90 zu entwickeln.

Zusätzlich zur aufgezeigten Möglichkeit der Erzeugung einer Signalfolge irgendeiner gewünschten Periode kann man auch zeigen, daß die erfindungsgemäße Vorrichtung so ausgelegt werden kann, daß sie sowohl eine gewünschte Folgenperiode

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- 2p-

als auch eine Folge mit spezifizierter Amplitude zu erzeugen vermag. Theoretisch ist diese Möglichkeit leicht über die h-Funktion realisierbar, da mit irgendeinem gewählten Ausgangszustand für den Generator eine bestimmte Folge der Periode ρ entwickelt wird; und von der entwickelten Folge kann die gewünschte Folge von einem h-Netzwerk abgeleitet v/erden, das einen Leseoder Festwertspeicher genügend großer Speicherfähigkeit aufweist. In der Praxis jedoch ist diese Gewaltmethode unattraktiv, da das resultierende h-Netzwerk extrem kompliziert; groß und teuer wäre und da jegliche Änderungen in der gewünschten Folge drastische Änderungen für das h-Netzwerk mit sich bringen würden. Man kann zeigen, daß selbst mit einer eingeschränkten h-Funktion, die einfach die Summe je eines Signalausgangs der unabhängigen Register im Folgen- oder Reihengenerator aufweist, eine unzählige Anzahl von Folgen durch vernünftiges Steuern des Ausgangszustandes des Folgengenerators erzeugt werden kann. Es sind nicht alle möglichen Folgen auf diese Weise erzeugbar, denn zur Erzeugung aller Folgen der Länge ρ sind ρ Freiheitsgrade erforderlich, während der verfügbare Speicher im erfindungsgemäßen Folgengenerator lediglich k Freiheitsgrade bietet. Man kann jedoch zeigen, daß für eine gegebene gewünschte Folge w der Länge ρ eine beste Näherung w (in mindestens quadratischem Sinn) dadurch realisiert werden kann, daß die Ausgangszustände, auf

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folgende Weise gesteuert werden.

1. Bei einem Speicher der Länge k erzeuge man eine Gruppe von k orthonormalen Einheitsvektoren d , bilde eine orthonormale Basis und definiere einen linearen Raum.

2. Man berechne die Projektion von w auf den durch die Gruppe von d Vektoren definjarten Raum durch Berechnung des normalen inneren Produkts von w mit jedem der d Vektoren, d. h., man berechne <w, d_u> für u = 1,2 ...k.

3. Man definierte w als Σ <w, d >d .

u=1 ^{u u}

Zur Klarheit ist die unmittelbar folgende Beschreibung zur Darstellung der Erzeugung einer orthonormalen Basis auf eine Periode ρ begrenzt, die eine Einfachpotenz einer Primzahl ist, d. h. ρ = q^v.

Vorstehend wurde gezeigt, daß, wenn ρ = q^v ist, die L-

Matrix k verschiedene Wurzeln p_n aufweist, wobei k=(q^v~ )(q-1) ist, und daß diese Wurzeln die primitiven Wurzeln von Eins des zyklotomischen Polynoms der Ordnung q^v sind. Man kann zeigen, daß von Potenzen verschiedener Wurzeln erzeugte Vektoren orthogonal sind, d. h.,

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(P^t pf, p\ *··ρξ) is* orthogonal zu (pj, P^, p wenn i / j ist, und daß die Gruppe der Vektoren f ^(pn» ^pn' ^pn "· I) ^{für n = 1}» ²' ³' * · %^{k eine} orthonomale Basis bildet.

Eine andere orthonomale Basis kann abgeleitet werden von den Folgen der Länge p, die durch Einfügen des folgenden Satzes Ausgangsbedingungen in das Schi&eregister des Folgengenerators erzeugt worden ist.

Vektor Nr. Schieberegisterplatz 1 2 3 ... 1
2

3 k

Man kann zeigen, daß dieser erzeugte Satz von k Folgen mit dem Graham-Schmitt-Orthonormalisierungsverfahren orthonormali siert werden kann und daß die resultierende orthonomale Basis b denselben linearen Raum definiert, der durch die d -Easis definiert ist. Da b_n und d_n denselben linearen Raum definieren, kann man zeigen, daß für eine gegebene gewünschte Folge w die beste Annäherungsfolge w erzeugt werden kann durch die Berechnung

Σ
u=1

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1	O	O	O
O	1	O	O
O	O	1	O
O	O	O	1

2*

Zu Erläuterungszwecken ist die Verwendung der vorstehenden Methode beschrieben für eindri Folgengenerator mit einer Periode 5, wobei die gewünschte Folge (-5, 0, 4, 2, -1) ist.

Entsprechend den erfindungsgemäßen Prinzipien hat der Generator für die Periode 5 eine Stufenzahl 4. Die Ausgangsbedingungen sind

1,0,0,0 0,1,0,0 0,0,1,0 0,0,0,1

und die resultierenden 4 Folgen der Länge 5 sind

1,0,0,0,-0,1,0,0,- 0,0,1,0,-0,0,0,1,-

Unter Verwendung des Graham-Schmitt-Orthonormalisierungsverfahrens ist die resultierende orthonormale Basis

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- 2A

Somit ist

<w,b₂> =

= -4/fT

6/fT = 18/-fi2" = 10//2Ö"

land W=-

oder

10

*L,

w = (-2, 0, 0, 0, +2) + (-1, 2, 0, O, -1) +

-18 -18 ^4

TS""' T2~"» "T2~* -1 -1 -1

Die Ausgangsbedingungen sind deshalb die ersten k Komponenten von w, in diesem Fall (-5» 0, 4, 2,). Diese Ausgangsbedingungen ergeben die Folge w = (-5, 0, 4, 2, -1), die in diesem Fall exakt gleich w ist.

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Die vorstehende Methode für ρ = q^v kann für irgendeine

Periode P = π P- verallgemeinert werden, wenn realii=1

siert ist, daß die orthonormale Basis für ein Register, die durch dessen ρ Vektoren (welche die (P₁ )te Wurzeln von 1 sind) erzeugt worden ist, orthogonal zur orthonormalen Basis für ein anderes Register ist, die durch dessen ρVektoren

(welche die (p. )ten Wurzeln von Eins sind) erzeugt worden J

ist. Man kann zeigen, daß gleiche Ergebnisse richtig sind für orthonomale Basen, die aus b Vektoren zusammengesetzt sind, die in derselben Weise wie im Fall ρ = q^v erzeugt worden sind.

Wenn ρ = fr p. ist, hat somit Jedes der r (oder r-1)

i=1 ^x
Register k. Speicherstufen, und es müssen r (oderr-1) unabhängige orthonormale Basen erzeugt werden, wobei jede Basis k. Vektoren hat. Der Rest des Verfahrens ist gleich dem für den Fall ρ = q^v. Nämlich, man berechne die Faktoren <w,b_u>und erzeuge die angenäherte Funktion

£ »ii„ h nn + ··· r-mal.

für 1. ^{u u} für 2. ^{u u} Register Register

Wenn beispielsweise ein Folgengenerator aufgebaut wird, der eine Periode von 12 erzeugen soll, und wenn es ferner erwünscht ist, daß die Ausgangsfolge W = (1, -1, O, 2, -2, -1, 3, -1, -2, +2, 0, -1) ' ist, kann man zeigen, daß der Generator zwei Register der

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Länge 2 aufweist, von denen eins (Register A) zur Entwicklung einer Periode 3 und das andere (Register B) zur Entwicklung einer Periode 4 angeschlossen ist. Die orthonormale Basis des Registers A kann von den Ausgangsbedingungen 10 und Ö1 abgeleitet werden, welche die Folgen

1, 0, -1, +1, 0, -1, 1, 0, -1, 1, 0, -1 und 0, 1, -1, 0, 1, -1, 0, 1, -1, 0, 1, -1 ergeben. Somit ist

D₁ = 7== O. 0» -1» L 0, -1, 1, 0, -1, 1, 0, -1)

und

b₂ = ^ (-1, 2, -1, -1, 2, -1,- -1, 2, -1, -1, 2, -1).

Die orthonormale Basis des Registers B ist

b₃ = ^L= (1, O, -1, O, 1, O, -1, O, 1, O, -1, O) und

b₄ = ~ (O, 1, O, -1, O, 1, O, -1, 0, 1, 0, -1). 1(16

Aus Vorstehendem können die Innenprodukte <w,b > berechnet werden, und diese Berechnung führt zu (1, 0, -1, 1, 0, -1, 1, 0, -1, 1, 0, -1) + (-1, 2, -1, -1, 2, -1, -1, 2, -1, -1, 2, -1) +

- § (1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0)+ 0 (0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1)

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oder

Vorstehendes zeigt, daß der Ausgangszustand für Register A +2 und -1 und für das Register B -1 und 0 ist. Nach Durchführung der Berechnung kann man sehen, daß in diesem Beispei w exakt gleich w ist.

Die "vorstehende Diskussion ist bisher begrenzt worden auf ideale analoge Schieberegister in dem Sinn, daß angenommen wird, daß keine Fehler auftreten. Bei einer praktischen Ausführung des erfindungsgemäßen Folgengenerators werden Fehler eingeführt durch Zwischenstufenübertragungsverluste innerhalb des Schieberegisters und durch Verstärkungsveränderungen im Rückkopplungsverstärker. Die durch das nichtideale Verhalten solcher praktischer Anlagen entstehenden Probleme sind bei vielen Anwendungen nicht kritisch. Bei Anwendungen, bei denen das Idealverhalten kritisch ist, kann ein Fachmann die damit zusammenhängenden Probleme leicht lösen. Aus Gründen der Vollständigkeit zeigt Fig. 4 jedoch eine Möglichkeit zur Überwindung des Verlustproblems. In dieser Fig. ist ein Quantisierer 22 zwischen die summierende Verstärkungseinheit 23 und ein Register 24 geschaltet. Der Quantisierer muß ein Treppenstufenquantisierer sein, der alle diejenigen Pegel aufzulösen und zu quantisieren vermag, deren Auftreten beim Betrieb des Generators zu erwarten ist. Der

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Quantisierer 22 kann beispielsweise mehrere Spannungskomparatoren aufweisen, die je mit einem Eingang mit der Summiereinheit 23 und mit dem anderen Eingang mit den verschiedenen gewünschten Quantisierer-Schwellenwertspannungen verbunden sind. Die Ausgangsströme der Spannungskomparatoren können summiert und auf einen Widerstand geführt werden, um die erforderliche Treppenstufen-Quantisierungsfunktion zu erzeugen.

Im Rahmen der Erfindung sind zahlreiche Abwandlungen möglich. Obwohl beispielsweise die Wirkungen und Vorteile der vorliegenden Vorrichtung analogen Schieberegistern zugeordnet worden sind, kann bei irgendeiner speziellen Anwendung, bei welcher auf Grund bekannter Ausgangsbedingungen der Maximalwert für die Ausgangsfolge bekannt ist, eine Reihe von Schieberegistern, die den gemäß der genannten US-PS 3 780 275 verwendeten etwas ähnlich sind, verwendet werden, wodurch das Erfordernis für einen Quantisierer beseitigt wird. Obwohl ein bestimmtes Signal der erläuterten Ausführungsformen beschrieben worden ist, versteht es sich auch, daß jegliches in den erläuterten Ausführungsformen verfügbare Signal als Ausgangssignal dienen kann, da dieses Signal sich von dem beschriebenen Signal lediglich durch eine Zeitverzögerung und möglicherweise durch eine

multiplikative Konstante unterscheiden würde. 19/20

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Claims

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BLUMBACH · WESER · BERGEN · KRAMER ZWIRNER . HIRSCH

PATENTANWÄLTE IN MÜNCHEN UND WIESBADEN

Postadresse München: Patentconsult 8 München 60 Radedcestraße 43 Telefon (089) 883603/883604 Telex 05-212313 Postadresse Wiesbaden: Patentconsult 62 Wiesbaden Sonnenberger Straße 43 Telefon (06121)562943/561998 Telex 04-186237

Patentansprüche

M// Mehrfachpegelfolgengenerator mit einem k-stufigen Analogschieberegister,

gekennzeichnet durch eine zwischen ausgewählten Schieberegisterstufen und der ersten Schieberegisterstufe angeordnete Rückkopplungseinrichtung (L^ ..., L.) zur Erzeugung einer negativen Summe der Ausgangssignale der ausgewählten Stufen als Eingangssignal für die erste Stufe des Schieberegisters (1 ... i).
2. Generator nach Anspruch 1,

dadurch gekennzeichnet, daß die Rückkopplungseinrichtung aufweist:

eine Multipliziereinrichtung (ßi ... ßh ) zum Multiplizieren der Ausgangssignale der ausgewählten Stufen des Schieberegisters mit vorbestimmten ganzen Zahlen, um die charakteristische Funktion der Schaltung zu einem zyklotomischen Polynom zu machen, eine Einrichtung (+) zur Erzeugung eines Nicht-Modulo-Summensignals der mit den ganzen Zahlen multiplizierten Signale, und

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München: Kramer. Dr. Weser · Hirsch — Wiesbaden: Blumbach · Dr. Bergen · Zwirner

eine Einrichtung zur Zuführung des Summensignals zur ersten Stufe des Schieberegisters.
3. Generator nach Anspruch 2,

dadurch gekennzeichnet, daß das Schieberegister derart betreibbar ist, daß wenigstens eine eeiner k-Stufen einen Nicht-Null-Anfangszustand aufweist, und daß vorgesehen sind:
eine Einrichtung zur Bildung von Produktsignalen ß.s(x_n)d,

wobei (x_)-t das Ausgangs signal der 3-ten Stufe des η j

Schieberegisters zur Zeit η ist und ß. ein vorbestimmter

ganzzahliger Multiplikator, der der J-ten Stufe des Schieberegisters zugeordnet ist, so daß für eine Funktionsvariable Λ die Funktion f 00 = 7l^k - r ^ß-i ^^k"^

ein zyklotomisches Polynom ist,

eine Vorrichtung zum Addieren der Produktsignale zur

k
Erzeugung eines Signals x„,-i =£? ßj(x ). , und daß die Einrichtungen zur Zuführung des Summensignals derart ausgebildet sind, daß sie das χ ^-Signal der ersten Stufe des Schieberegisters zuführen.
4. Generator nach Anspruch.1,

dadurch gekennzeichnet, daß die Rückkopplungseinrichtung die negative Summe in gewöhnlicher Arithmetik zu entwickeln vermag.

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5. Generator nach Anspruch 1 oder 4,

dadurch gekennzeichnet, daß die Rückkopplungseinrichtung eine Quantisierungsvorrichtung (22) aufweist zur Quantisierung des Eingangssignals der ersten Stufe auf vorgewählte Signalpegel.
6. Generator nach Anspruch 2,
gekennzeichnet durch Multipliziereinrichtungen (14 bis 16) zum Multiplizieren der Ausgangssignale ausgewählter Stufen des Schieberegisters (11, 12) mit -1, und eine Einrichtung zum Addieren der multiplizierten Signale in Nicht-Modulo-Arithmetik.
7. Generator nach Anspruch 1,

der auf ein Taktsignal anspricht und eine Folge der Periode q^v erzeugt, wobei q eine Primzahl und ν eine positive ganze Zahl ist, dadurch gekennzeichnet, daß k = (q^v~ )(q-1) Stufen vorgesehen sind und das Signal der i-ten Registerstufe beim Auftreten des Taktsignals in die (i-1)-te Registerstufe übertragbar ist,
daß eine SumTniereinrichtung zum Summieren des Aus-

v-· 1

gangssignals der (q )-ten Stufen des Schieberegisters vorgesehen ist, und daß zwischen der Summiereinrichtung

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und der ersten Stufe des Schieberegisters eine Einrichtung zur Umkehr der Polarität des Ausgangssignals der Summiereinrichtung vorgesehen ist.
8. Generator nach Anspruch 7,

dadurch gekennzeichnet, daß die Summiereinrichtung mit Stufen gekoppelt ist, die ungerade Vielfache von (q " ) sind.
9. Generator nach Anspruch 1, zur Erzeugung einer Mehrfachpegelausgangsfolge der Periode p, wobei (p,4)^ 2 und ρ =-{L| (Pj_ ) i^s"t uttd wobei p. Primzahlen und

^a. und r positive ganze Zahlen sind, mit r-Teilfolgen-Generatoren, die Je einem p. -Term entsprechen, dadurch gekennzeichnet, daß k =(Ρί Κρ^-Ό Stufen vorgesehen sind,

daß Einrichtungen zum Addieren der Ausgangssignale derjenigen Stufen vorgesehen sind, welche Vielfachen von (Pjt ) entsprechen,

daß zwischen d?n Addiereinrichtungen und der ersten Stufe des Schieberegisters eine Umkehrvorrichtung zur Umkehrung der Polarität des AusgangssignaTs der Addiereinrichtung vorgesehen ist

und daß ein Transversalnetzwerk auf ausgewählte Stufen eines 3eden der Teilfolgen-Generatoren anzusprechen ver mag, um ein Mehrfachpegelausgangssignal zu erzeugen,

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das einer Kombination der Signale der ausgewählten Stufen entspricht.
10. Generator nach Anspruch 9,

dadurch gekennzeichnet, daß der r-te Teilfolgengenerator aufweist:

^₁-1

(A) ein r-tes Schieberegister mit (P₁ Kp₁-O Stufen;

(B) eine r-te Einrichtung zur Umkehr der Ausgangspolarität der Stufenzahlen, die Vielfache von 2(P₁ ) sind, um Rückkopplungssignale zu erzeugen;

(C) r-te Einrichtungen zum Addieren der Rückkopplungssignale und des Ausgangssignals der Stufen des r-ten Schieberegisters, die ungerade Vielfache von

C^₁-I
(P₁ ) sind; und

(D) eine Vorrichtung zum Zuführen des Ausgangssignals der r-ten Addiereinrichtung zur ersten Stufe des r-ten Schieberegisters.

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