DE4121356A1 - Verfahren und einrichtung zur separierung eines signalgemisches - Google Patents

Verfahren und einrichtung zur separierung eines signalgemisches

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Description

Die Erfindung betrifft ein Verfahren sowie eine Einrichtung zur Separierung eines Signalgemisches
das aus M bekannten reellen oder komplexen Funktionen fµ(t) besteht, die mit den unbekannten Gewichtsfaktoren gµ, µ=1, 2 . . . M, gewichtet sind, wobei alle oder einige der Funktionen fµ(t) zeitlich und/oder spektral nicht disjunkt sind, und wobei dem Signalgemisch s(t) ein zusätzliches Störsignal n(t) überlagert sein kann.
In der vorliegenden Beschreibung wird davon ausgegangen, daß die Funktionen fµ(t) reell sind. Der Übergang auf komplexe Funktionen fµ(t) ist ohne weiteres möglich [3].
Es ist bekannt, daß das Problem der Signalseparierung darin besteht, aus dem Signalgemisch s(t) nach Gl. (1) Schätzwerte µ für die unbekannten Gewichtsfaktoren gµ zu gewinnen. Gemäß dem Stand der Technik [1] erfolgt das Schätzen der Gewichtsfaktoren gµ nach einem Verfahren, das darin besteht, das Signalgemisch s(t) nach Gl. (1) mit jeder der bekannten Funktionen fµ(t) zu korrelieren und die dadurch gewonnenen M Korrelationsprodukte wµ als Schätzwerte µ für die unbekannten Gewichtsfaktoren gµ zu betrachten. Eine Einrichtung, mit der dieses Verfahren gemäß dem Stand der Technik ausgeführt wird, ist in Fig. 1 dargestellt. Diese Anordnung besteht aus M Filtern (1) mit den Impulsantworten hµ(t), µ=1, 2 . . . M, und aus M Abtastern (2), wobei jedes der M Filter (1) an jeweils genau eine der Funktionen fµ(t) signalangepaßt ist und in seinen Eigenschaften somit unabhängig von den jeweils M-1 restlichen Funktionen fµ(t) ist. Für den Fall, daß als Störsignal n(t) weißes Gaußrauschen angenommen wird, bedeutet Signalanpassung, daß zwischen der Funktion fµ(t) und der Impulsantwort des entsprechenden µ-ten signalangepaßten Filters die Beziehung
hµ(t) = A · fµ(T-t) (2)
besteht [2]. Für andere Störsignaltypen ist die Impulsantwort hµ(t) entsprechend zu modifizieren [2]. Der Amplitudenfaktor A und die Verzögerungszeit T in Gl. (2) können bei den folgenden Betrachtungen ohne Einschränkung der Allgemeinheit gleich Eins bzw. gleich Null gesetzt werden. Anstelle von signalangepaßten Filtern (1) können in der Anordnung nach Fig. 1 aufgrund der bekannten Äquivalenz von Korrelation und signalangepaßter Filterung [2] auch Korrelatoren eingesetzt werden.
Wenn das Signalgemisch s(t) nach Gl. (1) der Anordnung nach Fig. 1 zugeführt wird, so erhält man durch zeitrichtiges Abtasten der M Filterausgangssignale mit den Abtastern (2) Abtastwerte wµ, µ=1, 2 . . . M, die den Korrelationsprodukten aus dem Signalgemisch s(t) nach (1) und aus jeweils einer der M Funktionen fµ(t), µ=1, 2 . . . M, entsprechen. Wählt man die Impulsantwort hµ(t) der signalangepaßten Filter gemäß Gl. (2) und setzt man A gleich Eins und T gleich Null, so lauten die Abtastwerte wµ im ungestörten Fall
Das Integrationsintervall Tint in Gl. (3) ist so zu wählen, daß der gesamte Zeitbereich erfaßt wird, in dem die Funktionen fµ(t) Werte ungleich Null annehmen können.
Die Abtastwerte wµ nach Gl. (3) können bekanntlich als Schätzwerte µ, µ=1, 2 . . . M, der Gewichtsfaktoren gµ angesehen werden [1]. Diese Schätzwerte µ sind im allgemeinen allerdings, wie ebenfalls bekannt ist, dadurch verfälscht, daß zum Abtastzeitpunkt die Signalkomponente gµ · fµ(t) des Signalgemisches s(t) nach Gl. (1) nicht nur am Ausgang des ihr zugeordneten µ-ten signalangepaßten Filters eine Spannung erzeugt, sondern auch an den Ausgängen der M-1 anderen signalangepaßten Filter. Diese Verfälschungen werden als systematische Filter (engl. bias) bezeichnet [3]. Man sagt auch, die Schätzung sei nicht erwartungstreu [3]. Lediglich in dem in der Praxis meist nicht vorliegenden Spezialfall, daß alle Funktionen fµ(t) zueinander exakt orthogonal sind, würden bei Verwendung der Anordnung nach Fig. 1 solche systematischen Fehler der Schätzwerte µ nicht auftreten.
Das Auftreten der obengenannten systematischen Fehler bei Verwendung nicht exakt orthogonaler Funktionen fµ(t) ist ein schwerwiegender Nachteil des bisher üblichen Verfahrens zur Separierung eines Signalgemisches nach Gl. (1) und der entsprechenden Anordnung nach Fig. 1. Gemäß dem Stand der Technik [2] versucht man diesem Nachteil dadurch entgegenzuwirken, daß man sich auf die Verwendung von selektierten bzw. konstruierten Funktionen fµ(t) beschränkt, die dem Fall der Orthogonalität möglichst nahekommen. Diese Vorgehensweise hat allerdings den offensichtlichen Nachteil, daß man bei der Wahl der Funktionen fµ(t) nicht frei ist. Eine solche Freiheit ist aber wünschenswert, z. B. dann, wenn in einem Nachrichtenübertragungssystem zum Erzielen von Abhörsicherheit die Funktionen fµ(t) häufig geändert werden sollen. In vielen Fällen sind die Funktionen fµ(t) auch vorgegeben, so daß die Möglichkeit der Wahl spezieller Funktionen fµ(t) a priori nicht besteht. Der Stand der Technik der Signalseparierung ist somit unbefriedigend.
Der im Anspruch 1 angegebenen Erfindung liegt das Problem zugrunde, bei der Ermittlung von Schätzwerten µ der Gewichtsfaktoren gµ systematische Fehler zu vermeiden, die beim herkömmlichen Separationsverfahren und beim Einsatz der Anordnung nach Fig. 1, die dem Stand der Technik entspricht, und bei Wahl nicht orthogonaler Funktionen fµ(t) entstehen. Dieses Problem soll erfindungsgemäß dadurch gelöst werden, daß man ein neuartiges Separationsverfahren und anstelle der Anordnung nach Fig. 1 zweckmäßig erweiterte bzw. modifizierte Anordnungen verwendet.
Die mit der Erfindung erzielbaren Vorteile bestehen darin, daß auch bei Verwendung nicht orthogonaler Funktionen fµ(t) eine genaue, d. h. erwartungstreue Schätzung der Gewichtsfaktoren gµ ermöglicht wird, und daß bei der Auswahl der Funktionen fµ(t) das einschränkende Streben nach Orthogonalität nicht erforderlich ist.
Fig. 2 veranschaulicht das erfindungsgemäße Verfahren zur Separation des Signalgemisches s(t). Dem Eingang (9) der in Fig. 2 dargestellten Signalauswerteeinheit (10) wird das Signalgemisch s(t) inklusive des eventuellen Störsignals n(t) zugeführt, und die Signalauswerteeinheit bildet aus dem Eingangssignal durch Filterung an ihren Ausgängen (11) erwartungstreue Schätzwerte µ für die Gewichtsfaktoren gµ.
Die Erfindung geht von dem nicht naheliegenden Gedanken aus, daß die bei der Korrelation - diese entspricht dem Stand der Technik - gewonnenen Abtastwerte wµ, die mit der Einrichtung nach Fig. 1 gewonnen werden, im störungsfreien Fall Linearkombinationen der gesuchten Gewichtsfaktoren gµ sind. Mit dem Vektor
g = (g₁, g₂ . . . gM) (4)
der Gewichtsfaktoren gµ, dem Vektor
w = (w₁, w₂ . . . wM) (5)
der Abtastwerte wµ und einer Matrix
kann der lineare Zusammenhang zwischen den Abtastwerten wµ und den Gewichtsfaktoren gµ in der Form
w = g · M (7)
dargestellt werden. Die Elemente mµ ν der Matrix M nach Gl. (6) sind die Kreuzkorrelationsprodukte der Funktionen fµ(t) und fν(t), d. h. es gilt
Als nächster Gedankenschritt wird die zur Matrix M nach Gl. (7) inverse Matrix
eingeführt. Aus dem Vektor w nach Gl. (5) und der Matrix N nach Gl. (9) ergibt sich der Vektor g der Gewichtsfaktoren gµ zu
g = w · N. (10)
Die Gewichtsfaktoren gµ kann man also als Linearkombinationen der in der Anordnung nach Fig. 1 an des Ausgängen der signalangepaßten Filter auftretenden Abtastwerte wµ darstellen. Diese Erkenntnis wird in der Erfindung genutzt.
Fig. 4 zeigt das Prinzip eines erfindungsgemäßen linearen Kombinierers (12). Der lineare Kombinierer (12) besteht aus einer Anzahl von M · M Multiplizierern (3) und aus einer Anzahl von M Addierern (4). Die Multiplizierer (3) werden wie in Fig. 4 dargestellt an ihrem einen Eingang (5) mit den Korrelationsprodukten wµ, µ=1, 2 . . . M, und an ihrem anderen Eingang (6) mit den Elementen nµ, ν der Matrix N nach Gl. (9) gespeist. Die Ausgangssignale von jeweils M Multiplizierern werden wie in Fig. 4 dargestellt jeweils einem der Addierer (4) zugeführt, an dessen Ausgang (7) die erwartungstreuen Schätzwerte µ der Gewichtsfaktoren gµ vorliegen.
Anstelle der linearen Überlagerung der mit der Anordnung nach Fig. 1 gewonnenen Filterausgangssignale wµ, µ=1, 2 . . . M, gemäß Gl. (10) ist es theoretisch auch denkbar, zunächst die Impulsantworten hµ(t) der signalangepaßten Filter (1) linear zu überlagern, die Ausgangssignale der dadurch entstehenden neuartigen modifizierten signalangepaßten Filter oder Korrelatoren abzutasten und dadurch direkt erwartungstreue Schätzwerte µ der Gewichtsfaktoren gµ zu erhalten. Setzt man diesen nicht naheliegenden Gedanken in die Tat um, so ergibt sich die Anordnung nach Fig. 3. Diese besteht aus M Filtern (8) mit den noch zu bestimmenden Impulsantworten qµ(t), µ=1, 2 . . . M, und aus M Abtastern (2). Mit dem Vektor
h(t) = [h₁(t), h₂(t) . . . hM(t)] (11)
der Impulsantworten der signalangepaßten Filter (1) in der Anordnung nach Fig. 1 und dem Vektor
q(t) = [q₁(t), q₂(t) . . . qM(t)] (12)
der zu bestimmenden Impulsantworten der Filter (8) in der Anordnung nach Fig. 3 folgt aus Gl. (10) die Bestimmungsgleichung
q(t) = h(t) · N. (13)
Eine erwartungstreue Schätzung der Gewichtsfaktoren gµ ist mit der Einrichtung nach Fig. 3 bei Wahl der Filterimpulsantworten qµ(t), µ=1, 2 . . . M, gemäß Gl. (13) auf einfache und vorteilhafte Weise dadurch möglich, daß man anstelle der üblichen signalangepaßten Filter mit den Impulsantworten hµ(t), µ=1, 2 . . . M, siehe Gl. (2), modifizierte signalangepaßte Filter mit den Impulsantworten qµ(t) verwendet, die sich gemäß Gl. (13) aus den Impulsantworten hµ(t) ergeben. Im Gegensatz zu der in Fig. 1 dargestellten, dem Stand der Technik entsprechenden Anordnung ermöglicht die in Fig. 3 dargestellte erfindungsgemäße Anordnung eine erwartungstreue und folglich genauere Schätzung der Gewichtsfaktoren gµ. Trotz dieses verbesserten Verhaltens erfordert die neuartige Anordnung nach Fig. 3 keinen höheren Schaltungsaufwand als die herkömmliche und bekannte Anordnung nach Fig. 1
Vorteilhafte Ausgestaltungen der Erfindung sind in den Ansprüchen 2 bis 9 angegeben.
Die Weiterbildung nach Anspruch 2 ermöglicht es, an den Ausgängen der Signalauswerteeinrichtung unmittelbar Schätzwerte für die unbekannten Gewichtsfaktoren gµ zu entnehmen.
Bei der Weiterbildung nach Anspruch 3 werden bei der Bildung der Korrelationsprodukte anstelle der bekannten Funktionen fµ(t) andere Funktionen fµ′(t) verwendet, die sich aus den Funktionen fµ(t) beispielsweise durch Filterung ergeben. Auf diese Weise kann man die Signalauswerteeinrichtung je nach Typ des einwirkenden Störsignals n(t) so gestalten, daß die erzielten Ergebnisse möglichst genau sind. In diesem Zusammenhang wird auch auf die Theorie der signalangepaßten Filter für den Fall des farbigen Rauschens hingewiesen [2].
Es kann vorteilhaft sein, die Bildung der Korrelationsprodukte in funktionell getrennten oder nicht getrennten Schritten vorzunehmen. Die beiden Weiterbildungen nach den Ansprüchen 4 und 5 erfassen diese beiden Möglichkeiten.
Anspruch 6 betrifft eine erfindungsgemäße Einrichtung, bei der das im Anspruch 1 beschriebene Verfahren so realisiert wird, daß man, wie auch in Fig. 3 dargestellt, anstelle der signalangepaßten Filter (1) der Anordnung nach Fig. 1 modifizierte signalangepaßte Filter (8) verwendet. In besonders vorteilhafter und aufwandsgünstiger Weise können die modifizierten signalangepaßten Filter (8) in Form elektroakustischer angezapfter Verzögerungsleitungen oder elektroakustischer Convolver [4] realisiert werden. Der Einsatz solcher Komponenten bietet sich vor allem dann an, wenn die Funktionen fµ(t) großes Zeit-Bandbreite-Produkt haben, d. h. wenn es sich um Spread-Spectrum-Funktionen [5] handelt. Anspruch 7 betrifft die Weiterbildung der Erfindung in diesem Sinne.
Anspruch 8 betrifft eine Weiterbildung der Erfindung, bei der die modifizierten signalangepaßten Filter oder Korrelatoren (8) durch digitale Korrelatoren realisiert sind. Derartige digitale Korrelatoren sind beispielsweise in [6] eingehend beschrieben. Bei Verwendung derartiger digitaler Komponenten ist eine Änderung der Funktion fµ(t), beispielsweise zum Erzielen von Abhörsicherheit bei der Funkübertragung, besonders einfach und rasch möglich.
In Anspruch 9 wird die Erfindung schließlich so ausgestaltet, daß die dem Stand der Technik entsprechende Anordnung nach Fig. 1 mit der erfindungsgemäßen Anordnung nach Fig. 2 kombiniert wird. Auf diese Weise wird es ermöglicht, Anordnungen nach Fig. 1 so zu ergänzen, daß eine erfindungsgemäße Signalauswerteeinrichtung (10) entsteht.
Anspruch 10 betrifft eine Einrichtung zur erfindungsgemäßen Ausführung der Signalseparierung, bei der das Signalgemisch zunächst gefiltert und/oder einem A/D-Wandler zur Digitalisierung zugeführt wird.
Eine vollständig digitale Signalverarbeitung gemäß dem erfindungsgemäßen Verfahren zur Signalseparierung ist auch durch einen digitalen Prozessor oder eine andere digitale Recheneinheit möglich. Diese Möglichkeit wird durch Anspruch 11 erfaßt.
Das auf den Gleichungen (4) bis (10) basierende Verfahren zum Schätzen der Gewichtsfaktoren gµ beinhaltet die zusätzliche Möglichkeit, z. B. in Form von Vertrauensgrenzen quantitative Aussagen über die Genauigkeit der Schätzergebnisse zu erhalten. Die mathematischen Grundlagen einer derartigen Vorgehensweise findet man z. B. in [7]. Im Anspruch 12 ist diese Ausgestaltungsmöglichkeit der Erfindung erfaßt.
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[7] R. Zurmühl: Praktische Mathematik. Springer Verlag, Berlin, 1965

Claims (12)

1. Verfahren zur Separierung eines Signalgemisches das aus M bekannten von der Zeit t abhängigen reellen oder komplexen Funktionen fµ(t), µ = 1, 2 . . . M, besteht, die mit M unbekannten Gewichtsfaktoren gµ, µ = 1, 2 . . . M, gewichtet sind, wobei alle oder einige der Funktionen fµ(t) zeitlich und/oder spektral nicht disjunkt sind, und wobei dem Signalgemisch s(t) ein zusätzliches, mit s(t) korreliertes oder nicht korreliertes Störsignal n(t) überlagert sein kann, dadurch gekennzeichnet, daß das Signalgemisch s(t) inklusive des eventuellen Störsignals n(t) dem Eingang (9) einer analog und/oder digital arbeitenden Signalauswerteeinrichtung (10) zugeführt wird, an deren Ausgängen (11) Linearkombinationen der Korrelationsprodukte aus dem Eingangssignal und aus den Funktionen fµ(t) abgenommen werden können, wobei bei der Bildung der Korrelationsprodukte anstelle der Funktionen fµ(t) auch modifizierte Versionen dieser Funktionen verwendet werden können.
2. Verfahren nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß insgesamt M Linearkombinationen gebildet werden, die erwartungstreue Schätzwerte für die unbekannten Gewichtsfaktoren gµ sind.
3. Verfahren nach Anspruch 1 oder 2, dadurch gekennzeichnet, daß bei der Bildung der Korrelationsprodukte anstelle der Funktionen fµ(t) derart modifizierte Funktionen verwendet werden, so daß minimale Varianz und/oder maximales Signal-Stör-Verhältnis der Ausgangssignale der Signalauswerteeinrichtung (10) erzielt wird.
4. Verfahren nach einem oder mehreren der Ansprüche 1 bis 3, dadurch gekennzeichnet, daß in der Signalauswerteeinrichtung (10) die Bildung der Korrelationsprodukte und die Bildung der Linearkombinationen in funktionell getrennten Schritten erfolgen.
5. Verfahren nach einem oder mehreren der Ansprüche 1 bis 3, dadurch gekennzeichnet, daß in der Signalauswerteeinrichtung (10) die Bildung der Korrelationsprodukte und die Bildung der Linearkombinationen in funktionell nicht getrennten Schritten erfolgen.
6. Einrichtung zur Separierung eines Signalgemisches s(t) gemäß Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß das Signalgemisch s(t) inklusive des eventuellen Störsignals n(t) modifizierten signalangepaßten Filtern oder Korrelatoren (8) zugeführt wird, deren Impulsantworten Linearkombinationen der Impulsantworten von Filtern (1) sind, die an die Funktionen fµ(t) signalangepaßt sind.
7. Einrichtung nach Anspruch 6, dadurch gekennzeichnet, daß die Filter oder Korrelatoren in analoger Technik realisiert sind, insbesondere in Form elektroakustischer angezapfter Verzögerungsleitungen oder elektroakustischer Convolver.
8. Einrichtung nach Anspruch 6, dadurch gekennzeichnet, daß die modifizierten signalangepaßten Filter oder Korrelatoren (8) in digitaler Technik realisiert sind.
9. Einrichtung zur Separierung eines Signalgemisches s(t) gemäß Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß das Signalgemisch s(t) inklusive des eventuellen Störsignals n(t) Filter oder Korrelatoren (1) zugeführt wird, die an die Funktionen fµ(t) signalangepaßt sind und daß die Filterausgangssignale einer Einrichtung (12) zugeführt werden. In der sie linear kombiniert werden.
10. Einrichtung gemäß Anspruch 1 zur Separierung eines Signalgemisches s(t), dadurch gekennzeichnet, daß das Signalgemisch s(t) inklusive des eventuell empfangenen Störsignals n(t) vor der Weiterverarbeitung einem Filter und/oder einem A/D-Wandler zugeführt wird.
11. Einrichtung gemäß Anspruch 1 zur Separierung eines Signalgemisches s(t), dadurch gekennzeichnet, daß das Signalgemisch s(t) inklusive des eventuell empfangenen Störsignals n(t) durch einen digitalen Prozessor oder eine andere digitale Recheneinheit verarbeitet wird.
12. Verfahren nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß zusätzlich zur Gewinnung der Schätzwerte für die Gewichtsfaktoren quantitative Aussagen über die Genauigkeit dieser Schätzwerte gewonnen werden.
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