DE69631225T2

DE69631225T2 - Bildrekonstruktion von spiralabgetasteten Teilkegelstrahldaten

Info

Publication number: DE69631225T2
Application number: DE69631225T
Authority: DE
Inventors: Heang K. Chesterland Tuy
Original assignee: Koninklijke Philips Electronics NV
Current assignee: Koninklijke Philips NV
Priority date: 1995-06-30
Filing date: 1996-06-07
Publication date: 2004-11-11
Anticipated expiration: 2016-06-08
Also published as: EP0751484B1; US5625660A; EP0751484A3; DE69631225D1; JPH0910202A; EP0751484A2

Description

φDie vorliegende Erfindung bezieht sich auf ein Verfahren und eine Vorrichtung zur diagnostischen Bildgebung. Sie findet insbesondere Anwendung in Verbindung mit der Rekonstruktion von Röntgenübertragungsdaten von CT-Scannern, die eine Teilkegelstrahlungsquelle entlang einer Spiralbahn bewegen, und wird unter besonderer Bezugnahme darauf beschrieben. Es ist jedoch zu beachten, dass die vorliegende Erfindung auch bei der Rekonstruktion von Informationen anderer konischer oder anderer dreidimensionaler Röntgenquellen Anwendung findet, wie bei der Rekonstruktion konischer Übertragungs- oder Emissionsdaten in Nuklearkameras.
Herkömmlicherweise haben Spiral-CT-Scanner eine Röntgenquelle, die eine dünne Röntgenschicht oder einen dünnen Röntgenstrahl projiziert. Die Röntgenquelle ist so angebracht, dass sie um eine entlang der Rotationsachse bewegte Person gedreht werden kann. Ein Bogen oder Ring aus Strahlungsdetektoren erfasst die Strahlung, die den Patienten durchquert hat. Daten von den Strahlungsdetektoren stellen eine einzelne Spiralschicht durch den Patienten dar. Die Daten von den Detektoren werden zu einer dreidimensionalen Bilddarstellung rekonstruiert.
Zur schnelleren Verarbeitung können ein Paar oder mehr Strahlungsdetektoren nebeneinander angeordnet sein. Auf diese Weise lassen sich zwei oder mehr Datenschichten gleichzeitig erfassen. Wie beim Einschicht-Scanner werden jedoch nur schichtinterne Daten beim Rekonstruktionsprozess verwendet.
Eine der Schwierigkeiten bei Scannern nach dem Stand der Technik besteht darin, dass sie den Röntgengenerator stark beanspruchen. Wenn eine feste geometrische Form von Röntgenstrahlen, wie beispielsweise ein Kegel, erzeugt wird, durchqueren die Röntgenstrahlen einen volumetrischen Bereich der Person. Bei der echten Kegelstrahlrekonstruktion ist das Abschneiden der Daten nicht zulässig. Diese Röntgenstrahlen breiten sich entlang bekannter Strahlengänge aus, und zwar sowohl innerhalb üblicher Ebenen als auch in spitzen Winkeln durch verschiedene Ebenen. Die Strahlung, die Strahlengänge in einem Winkel zur Zentralebene durchquert, ging früher durch Kollimation verloren. Indem man die vorher durch Kollimation verloren gegangene Strahlung zur Erzeugung nützlicher diagnostischer Informationen nutzt, wird die Belastung des Röntgengenerators reduziert.
Die Bilder, die anhand von entlang divergierender Strahlenbündel gesammelten Daten rekonstruiert wurden, neigen jedoch zu Artefakten. Eine Möglichkeit, die Artefakte divergierender Strahlen zu minimieren, besteht darin, die Anzahl der Ringe zu minimieren, d. h. die Breite des Kegelstrahls zu begrenzen. Natürlich wird durch eine Begrenzung der Kegelstrahlbreite die ursprüngliche Absicht teilweise wieder zunichte gemacht.
Obwohl die vom Kegelstrahl gelieferte zusätzliche Strahlung bei der Bildgebung vorteilhaft ist, hat sie den nachteiligen Nebeneffekt, dass die Patientendosierung erhöht wird. Auf der anderen Seite ermöglicht es die höhere Dosierung, mit weniger Umdrehungen des Kegelstrahls ein Volumen zu konstruieren. In dem Artikel von H. Kudo und T. Saito mit dem Titel "Three-dimensional Helical-Scan Computed Tomography using Cone-Beam Projections" (Systems & Computers in Japan, Bd. 23, Nr. 12, 1. Januar 1992, Seiten 75–82) wird ein Näherungsalgorithmus für die Rekonstruktion von Volumenbildern aus einer Kegelstrahl-Spiralabtastung mit abgeschnittenen Projektionen diskutiert. Der vorgestellte Rekonstruktions-Näherungsalgorithmus ist eine Erweiterung des Feldkamp-Rekonstruktionsverfahrens für eine Abtastung mit einer Umdrehung mittels Kegelstrahlprojektionen auf eine Spiralabtastung und besteht aus den drei Schritten der Multiplikation mit einer Gewichtungsfunktion, um die Auswirkung eines gestreuten Röntgenstrahls zu korrigieren, der Faltung und der inversen Projektion. Das Feldkamp-Rekonstruktionsverfahren ist dem Fachmann bekannt und löst nicht das Hauptproblem der abgeschnittenen Projektionen.
Die vorliegende Erfindung schafft ein neues und verbessertes Verfahren und und eine entsprechende Vorrichtung für die Rekonstruktion volumetrischer Bilder aus kegelförmigen und anderen dreidimensionalen Röntgengeometrien.
Gemäß der vorliegenden Erfindung wird ein Verfahren zur diagnostischen Bildgebung geschaffen, wie es in Anspruch 1 beschrieben ist.
Beim Rekonstruktionsvorgang werden die Ansichten basierend auf der definierten Ebene und definierten Voxelpositionen so rekonstruiert, dass die Ansichten zu mehreren Ebenen beitragen, um die volumetrische Bilddarstellung zu erzeugen. Die Ansichten werden während der Rekonstruktion rückprojiziert. Jede Ansicht wird in eine dreidimensionale volumetrische Region der volumetrischen Bilddarstellung auf eine solche Weise rückprojiziert, dass jede rückprojizierte Ansicht zu einer Vielzahl paralleler Ebenen der volumetrischen Bilddarstellung beiträgt. Gemäß einem anderen Aspekt der vorliegenden Erfindung wird eine Vorrichtung für die diagnostische Bildgebung geschaffen, wie sie in Anspruch 9 beschrieben ist.
Ein Vorteil der vorliegenden Erfindung besteht darin, dass sie eine schnellere Rekonstruktion von Bildern volumetrischer Regionen schafft.
Ein weiterer Vorteil der vorliegenden Erfindung besteht darin, dass sie die Rekonstruktion volumetrischer Bilder mit weniger als einer vollständigen Umdrehung einer Röntgenquelle ermöglicht.
Ein weiterer Vorteil der vorliegenden Erfindung besteht in der Reduzierung von Bildartefakten.
Die Erfindung wird im Folgenden anhand von Beispielen sowie unter Bezugnahme auf die begleitenden Zeichnungen näher beschrieben. Es zeigen:
1a eine Darstellung eines erfindungsgemäßen Bildgebungssystems;
1b eine Darstellung eines in der vorliegenden Erfindung verwendeten Detektorelements;
2 eine zu dem Scheitelpunkt ϕ(t₀) gehörende lokale Koordinatenebene (P₀);
3 weiterhin eine zu dem Scheitelpunkt ϕ(t₀) gehörende lokale Koordinatenebene (P₀), wie in 2 gezeigt;
4 Teilkegelstrahldaten zu einem beliebigen Zeitpunkt t;
5 eine Funktion h_t(u, v) als ein Integral der Funktion f entlang der Linie von ϕ(t₀) zu einem Punkt (u, v) in einer durch C(t) definierten Ebene der Achsen U und V;
6 ein Blockdiagramm eines Rekonstruktionsalgorithmus zur Bestimmung von Q₂;
7 eine graphische Darstellung von s(t) = 2(1 – cost) – tsint;
8 die Spur der Helix auf einer lokalen Koordinatenebene im (u, v) Raum;
9 M als die Spur von x auf (P₀) und D als den Schnittpunkt von (Q) und (P₀0);
10 das Integral der Funktion H_t entlang einer vom Polarparameter (s, ψ) definierten Linie,
11 ein Koordinatensystem ω, q, r, s;
12 weiterhin den in 6 gezeigten Rekonstruktionsalgorithmus;
13 den Rückprojektionsprozess; und
14 eine Detailansicht, die die Verarbeitung dreidimensionaler Daten zur Projektion in einen dreidimensionalen Bereich des Volumenbildspeichers veranschaulicht.
Bezug nehmend auf die 1a und 1b enthält eine Vorrichtung zur medizinischen diagnostischen Bildgebung 10 einen Röntgendetektor 12, der von einer Person auf einer Personenliege 14 ankommende Strahlung empfängt. In der bevorzugten CT-Scanner-Ausführungsform tritt Strahlung aus einer Röntgenröhre 16 aus, die einen Quellen-Kollimator 18 hat, der ein Kegelstrahlenbündel 20 der Strahlung definiert. Das Kegelstrahlenbündel, wie es hier definiert ist, kann einen kreisförmigen Querschnitt, einen quadratischen oder rechteckigen Querschnitt, einen hexagonalen Querschnitt oder dergleichen haben.
Der Strahlungsdetektor 12 der bevorzugten Ausführungsform enthält eine Anordnung von Detektorelementen, die in einer den Querschnitt des Röntgenstrahlenbündels 20 nachbildenden Konfiguration angebracht sind. Beispielsweise kann ein Dutzend quadratischer Detektorelemente 22 in einem Muster angebracht sein, das ungefähr einem Kreis entspricht. Wenn das Strahlenbündel rechteckig oder quadratisch ist, würden die Detektorelemente in einem entsprechenden quadratischen oder rechteckigen Muster positioniert werden. Als weitere alternative Ausführungsform kann eine Vielzahl von stationären Ringen aus Detektorelementen um die Person herum angebracht sein. Das Anbringen einer Vielzahl stationärer Ringe aus Detektorelementen verursacht zwar zusätzliche Kosten bei den Detektoren, beseitigt aber auch Kosten, die im Zusammenhang mit der Drehung der Detektoranordnung entstehen.
Jede der Detektoranordnungen 22 beinhaltet einen in Richtung auf die Strahlungsquelle angeordneten Szintillationskristall 24, eine zum Szintillationskristall gewandte Anordnung von Photodetektoren 26, und eine mit der Anordnung von Photodetektoren 26 verbundene Anordnung aus integrierten Schaltungen 28. Vorzugsweise sind Szintillationskristall, Photodetektor und die Anordnung aus integrierten Schaltungen auf einem gemeinsamen Substrat aufgebracht. Der Szintillationskristall und die Photodetektoren sind geätzt oder geschnitten, um eine große Anzahl lichtempfindlicher Elemente zu definieren, z. B. ein 16 × 16 Array. Optional ist an den Szintillationskristallen ein Detektorkollimator 30 angebracht, um die empfangene Strahlung auf Strahlung zu begrenzen, die sich entlang von Strahlengängen von einem Ursprung des Kegelstrahlkollimators ausbreitet. In der CT-Scanner-Ausführungsform ist der Ursprung des Kollimators so gewählt, dass er mit dem Brennpunkt der Röntgenröhre übereinstimmt.
Alternativ kann die medizinische diagnostische Vorrichtung eine Nuklearkamera sein. In der Nuklearkamera beinhaltet die Strahlungsquelle eine Emissionsquelle in Form eines Radiopharmazeutikums, das der Person injiziert wird. Da der Kegelstrahlkollimator die empfangene Strahlung auf Strahlung begrenzt, die sich entlang eines kegelförmigen Strahlenganganordnung ausbreitet, sind die resultierenden Daten erneut Kegelstrahldaten. Weiterhin kann eine Transmissionsleitungsquelle dem Patienten gegenüber vom Strahlungsdetektor aus angeordnet sein. In einer Nuklearkamera ist die Transmissionsleitungsquelle im Allgemeinen ein Radioisotop.
Wie in der Technik bekannt ist, gibt es ein geeignetes Mittel oder einen geeigneten mechanischen Mechanismus, um die Strahlungsquelle und den Detektor um die Person und die Personenliege herum zu drehen. Bei einer CT-Kamera dreht sich die Strahlungsquelle im Allgemeinen kontinuierlich mit einer relativ hohen Geschwindigkeit. Bei einer Nuklearkamera drehen sich der Detektor und die Transmissionsstrahlenquelle, sofern vorhanden, in der Regel schrittweise.
Weiterhin Bezug nehmend auf die 1a–1b und darüber hinaus Bezug nehmend auf die 2 und 3 werden alle Strahlungsdetektoren gleichzeitig abgetastet, um eine momentane Ansicht zu erzeugen, die in einem Momentanansichtsspeicher oder Latch 40 gespeichert wird. Im Speicher oder Latch 40 wird auch ein Hinweis auf den Ursprung des Kegels gespeichert, d. h. die Position der Röntgenröhre und/oder die Position der Detektoranordnung. Bei einem CT-Scanner, bei dem sich der Kegel schnell dreht, werden die Detektoren in sehr kurzen Zeitintervallen abgetastet. Bei einer Nuklearkamera wird das Ausgangssignal der Detektoren im Allgemeinen über eine Verweildauer in jeder Winkelposition integriert. Die Daten aus dem Momentanansichtsspeicher 40 werden an einen Teilkegelstrahldatenspeicher 42 weitergeleitet, in dem ein Quellkegel oder -fächer von Daten h_t(u, v) gespeichert ist. Genauer gesagt stellen die Teilkegelstrahldaten h_t die Linienintegrale oder Projektionen auf die Ebene P₀ entlang des Strahlengangs ϕ vom Ursprung oder der Röntgenquelle dar. Ein Gewichtungsprozessor 44 wichtet jeden Teilkegelstrahldatenwert h_t(u, v), um eine gewichtete oder Datenansicht H_t(u, v) zu erzeugen. In einer bevorzugten Ausführungsform ist die Gewichtung eine Kosinus-Gewichtung mit folgender Form:
wobei der Gewichtungsterm der Kosinus des Strahlenwinkels und R der Radius des Kreises ist, der die Abtast-Helix definiert.
Das zu rekonstruierende Objekt wird durch eine Funktion f von R³ zu R dargestellt wird, wobei R der Radius eines Kreises ist, der die Abtast-Helix definiert, d. h. der Abstand von der z-Achse am Ursprung Ω zum Ursprung des Kegels. Die Bahn der Röntgenquelle wird durch eine Kurve ϕ beschrieben, die mathematisch durch eine Funktion ϕ von einem Intervall Λ von R zu R³ definiert wird. Im Fall der Spiralabtastung wird eine derartige Funktion ϕ durch drei Koordinatengleichungen ϕ(t) = (Λcosωt, Λsinωt, σt) für t als Teilmenge von Λ definiert. Für jede durch einen Einheitsvektor α in R³ dargestellte Richtung kann die von ϕ(t) ausgehende positive Halblinie parametrisch durch {ϕ(t) + rα|r ϵ[0, ∞]} dargestellt werden, so dass h(α, t) definiert wird durch:
dem Integral der Funktion f entlang der bei ϕ(t) beginnenden Halblinie in der Richtung α. Teilkegelstrahldaten zu jedem Zeitpunkt t₀ können durch h(α, t) dargestellt werden, wobei α eine Teilmenge von R³ ist. ϕ(t) ist der Scheitelpunkt des Teilkegels zum bestimmten Zeitpunkt t₀. Die Definition der Funktion h kann für alle α in R³ mit ||α|| ≠ 0 erweitert werden. Eine derartige erweiterte Version von h wird im Folgenden mit g bezeichnet. Das innere Produkt der beiden Vektoren x, y in R³ wird mit <x, y> bezeichnet. Die Fourier-Transformation der Funktion f ist gegeben durch:
oder in sphärischen Koordinaten:
wobei S die Einheitskugel R³ angibt.
Die folgenden Gleichungen geben die Beziehung zwischen der Fourier-Transformation einer Funktion f und der einer Funktion g an: G(ξ, t) = F(ξ, <(t), ξ>) (5),wobei
die dreidimensionale Fourier-Transformation von g in Bezug auf die erste Variable α ist. Aus der Definition der Funktion F selbst kann geschlossen werden, dass:
Wenn θ ein Einheitsvektor in R³ ist, dem Schichtprojektionstheorem, das die Beziehung zwischen der Fourier-Transformation von f und der eindimensionalen Fourier-Transformation seines planaren Integrals R_θf erzeugt, kann daraus geschlossen werden, dass:
Folglich ist der Ausdruck F(θ, u) – F(–θ, –u) gleich 0, wenn |u| > A für A gilt, weil die Integrale entlang Ebenen senkrecht zu θ gleich 0 sind, wenn die Ebene nicht den Träger der Funktion f schneidet. Daraus kann geschlossen werden, dass:
In Bedingung 1 wird angenommen, dass für jeden Punkt x im Träger der Funktion f bei dem f(x) anhand der Kegelstrahldaten rekonstruiert werden soll, ein Teilintervall Λ_x von Λ existiert, so dass jede durch den Träger von f verlaufende Ebene die zu dem Teilintervall Λ_x gehörende Teilkurve ϕ_x von ϕ schneidet. Ausgehend von dieser Bedingung und indem man die durch u = <ϕ(t), θ> definierte Änderung der Variablen vornimmt, kann Gleichung (10) wie folgt ausgedrückt werden:
wobei die redundante Gewichtungsfunktion M(θ, t) folgende Multiplizitätsbedingung erfüllt, die sich darauf bezieht, wie oft die durch ϕ(t) gehende und senkrecht zu θ stehende Ebene die Kurve ϕ_x schneidet:
Wenn die senkrecht zu einer Richtung θ stehende und durch ϕ(t) verlaufende Ebene die Teilkurve ϕ_x bei ϕ(so), ..., ϕ(s_tθ) schneidet, lässt sich die Bedingung aus Gleichung (12) einfach wie folgt ausdrücken: M(θ, s0) + M(θ, s1) + ... + M(θ, stθ) = 1 (13).
Der Term f(x) kann anhand seiner Fourier-Transformation mit Hilfe des sphärischen Koordinatensystems wie folgt berechnet werden:
Indem man die Gleichung (11) in die Gleichung (14) einsetzt, erhält man:
Nach Austauschen der Integrationsreihenfolge erhält man:
Berücksichtigend, dass M(–θ, t) = M(θ, t), erhält man nach der Integration bezüglich ρ:
Demzufolge erfordert die Berechnung von f(x): Λx = {t ε Λ|<x – ϕ(t), θ> = 0} (18),das heißt, die Menge t ist so beschaffen, dass ϕ(t) der Schnittpunkt der durch f verlaufenden und senkrecht zur Richtung θ stehenden Ebene ist. Der Ausdruck f(x) kann auch wie folgt geschrieben werden:
Berücksichtigend, dass g und G beides homogene Funktionen in Bezug auf ihre erste Variable sind und dass G(ρϕ, t) = G(θ, t)/ρ² ist, lässt sich die Gleichung (19) wie folgt schreiben:
Die inneren Doppelintegrale auf der rechten Seite der Gleichung (20) sind lediglich die dreidimensionale inverse Fourier-Transformation des Produkts der beiden Funktionen, nämlich: G(ξ, t) – G(–ξ, t) und |<ϕ'(t), ξ>|M(ξ/||ξ||, t). Demzufolge sind die Integrale die dreidimensionale Faltung ihrer inversen Fourier-Transformation. Genauer ausgedrückt:
Aufgrund der Redundanz der Gewichtungsfunktion M ist die obige Faltungs-Rückprojektion komplex und für die Teilkegelstrahldaten nicht geeignet.
Wenn die Gewichtungsfunktion M eine Konstante ist und diese Konstante zur Vereinfachung gleich 1 gesetzt wird, wird der Kern der Faltung gegeben durch:
Der Ausdruck α und ξ im Koordinatensystem (T, U, V) mit der durch ϕ(t) verlaufenden T-Achse und der parallel zum Vektor ϕ'(t) verlaufenden U-Achse:
Folglich gilt
d. h. q ist das Produkt aus dem klassischen Rampenfilter für die zweidimensionale Rekonstruktion mit der Delta-Funktion in Bezug auf die mit ||ϕ'(t)|| gewichtete Variable (T, V). Demzufolge wird der Ausdruck Q(x, t) = (g(α, t)*q(α, t))(x – ϕ(t)) zu:
Zu beachten ist, dass die Funktion g in Bezug auf ihre erste Variable homogen ist. Der Faltungsausdruck ist eine eindimensionale Faltung von gewichteten Linienintegralen oder Projektionsdaten entlang der Richtung der Tangente ϕ'(t) der Bahn ϕ. Der Kern der Faltung ist der klassische Rampenkern, der in zweidimensionalen Schichtrekonstruktionen verwendet wird. Darüber hinaus ist die Faltung von g(-α, t) Null, da das Objekt einen kompakten Träger darstellt. Wenn daher M konstant ist, d. h. jede Ebene durch den Punkt x geht, an dem f(x) zu rekonstruieren ist, und eine Teilkurve ϕ_x an derselben Anzahl von Punkten schneidet, dann ist die Faltung eine eindimensionale Faltung in der Richtung von ϕ'(t). Folglich können Daten in einem Teilkegelstrahl an jedem Zeitpunkt t in Λ_x gesammelt werden, solange sie in der Richtung von ϕ'(t) nicht abgeschnitten werden.
Obwohl für die exakte Rekonstruktionsformel eine nicht konstante Gewichtungsfunktion M(θ, t) erforderlich ist, die, basierend auf der Einfachheit des Faltungsausdrucks, die oben angegebenen Redundanzbedingungen erfüllt, kann die Gewichtungsfunktion M als Summe einer Konstanten C und einer nicht konstanten Funktion N geschrieben werden, d. h.: M(θ, t) = C + N(θ, t) (27).
Bei dieser Zerlegung sind die gefalteten Daten die Summe zweier Ausdrücke. Der erste Ausdruck entspricht C, und der zweite Ausdruck entspricht der Gewichtungsfunktion N. Da für den ersten Ausdruck eine eindimensionale Faltung in der Richtung von ϕ'(t) erforderlich ist, kann angenommen werden, dass die Teilkegelstrahldaten innerhalb eines Rechtecks gesammelt werden, dessen eine Seite parallel zu ϕ'(t) ist.
In Bedingung 2 wird davon ausgegangen, dass zu jedem Zeitpunkt t die Daten des Teilkegelstrahls nicht in der Richtung von ϕ'(t) abgeschnitten werden und eine positive Ganzzahl K existiert. Der Ganzzahl K hat die Eigenschaft, dass, wenn die Daten zu einem Zeitpunkt t entlang der Richtung Δ abgeschnitten werden, die durch die Linie Δ und den Scheitelpunkt ϕ(t) definierte Ebene entweder (i) ϕ_x exakt K mal schneidet oder (ii) ϕ_x an einem anderen Scheitelpunkt ϕ(t') schneidet, bei dem die Daten entlang der Linie Δ' orthogonal zur Ebene nicht abgeschnitten werden.
Ferner wird angenommen, dass entlang dieser Seite die Daten nicht abgeschnitten werden. Die Redundanzbedingung für die Funktion M erfordert es, dass N folgende Bedingung erfüllt:
Zu beachten ist, dass, wenn W(θ, t) ≥ 0 ist und folgende Bedingung erfüllt:
die Funktion N dann definiert werden kann durch:
W wird so gewählt, dass zur Berechnung der gefalteten Daten nicht die abgeschnittenen Daten verwendet werden. Bei Verwendung der abgeschnittenen Daten könnte N(θ, t) = 0 sein.
Um die Rekonstruktion zu vereinfachen, wird die Rekonstruktionsformel wie folgt gewählt:
wobei Q₁ die gefalteten Daten entsprechend zu C sind, das die eindimensionale Faltung der gewichteten Daten mit der klassischen Rampenfunktion in der Richtung ϕ'(t) ist, und der zweite Ausdruck Q₂ gegeben ist durch:
Daraus folgt, dass:
Die rechte Seite der Gleichung (33) ist nur das Produkt aus –i/2π, mit dem Integral der direktionalen Ableitung der Ausbreitungsdaten entlang einer Linie in der Detektorebene und orthogonal zur Richtung θ. Folglich sind die Daten entlang dieser Linie mit den abgeschnittenen Daten für die Berechnung von Q₂ nicht erforderlich. Um sicherzustellen, dass eine solche Auswahl immer möglich ist, wird W entsprechend gewählt. Zu diesem Zweck werden für die von der Röntgenquelle oder dem Ursprung des Kegelstrahls relativ zur x-Achse durchquerten Kurve ϕ geeignete Bedingungen vorgegeben. Eine sich von A nach B erstreckende Spirale oder Teilspirale erfüllt diese Bedingungen.
Der Gewichtungsprozessor 44 führt die Gewichtung der Daten mit konstanter Gewichtungskomponente durch, während ein zweiter Faktor-Prozessor 46 den nicht konstanten Gewichtungsfaktor berechnet. Die gewichteten Daten vom Prozessor 44 werden weitergeleitet an einen ersten oder Q₁-Prozessor 48, der die Q₁-Komponente berechnet, sowie an einen zweiten oder Q₂-Prozessor 50, der die Q₂-Komponente mit der nicht konstanten Gewichtungsfunktion vom Gewichtungsfunktionsprozessor 46 berechnet. Ein Prozessor 52 errechnet die Summe aus Q₁ und Q₂, und die Summe wird von einem dreidimensionalen Rückprojektor 54 rückprojiziert, wie grundsätzlich durch die Gleichungen (19)– (21) und ausführlicher im Folgenden beschrieben.
Bezug nehmend auf die 4, 5 und 6 beginnen wir zunächst in dem Koordinatensystem (T, U, V). In diesem Koordinatensystem wird Q₁ bewertet als:
Um die Koordinatentransformation zu vereinfachen, wird der Mittelpunkt des Koordinatensystems (T, U, V) als orthogonale Projektion C(t) von ϕ(t) auf die z-Achse gewählt. Dieses Koordinatensystem ist einfach die Translation des Koordinatensystems aus 5 mit dem Translationsvektor D_τ, wobei τ der Einheitsvektor entlang der T-Achse ist. In diesem neuen Koordinatensystem kann man die Koordinaten (T, U, V) des Rekonstruktionspunktes x von ihren Originalkoordinaten (X, Y, Z) erhalten, indem man die Spaltenmatrix (X, Y, Z-σt)^t mit der 3 × 3-Rotationsmatrix A(t) multipliziert, die aus den Koordinaten der Einheitsvektoren τ, μ, υ entlang der T-, U- bzw. V-Achse besteht.
Für ϕ(t) = (Rcosωt, Rsinωt, σt) gilt: τ = [cosωtsinωt0] (35a), μ = [–RωsinωtRωcosωtσ]/(R2ω2 + σ2)1/2 und (35b), ν = [σsinωt – σcosωtRω]/(R2ω2 + σ2)1/2 (35c).
Anschließend muss noch der Integralausdruck von Q₁ mittels einer Stichprobe aus der Menge der Linienintegrale h_t ausgewertet werden, die anhand der Teilkegelstrahl-Projektionsdaten geschätzt werden. Entsprechend der Auswahl des neuen lokalen Koordinatensystems wird h_t(u, v) als das Integral der Funktion f entlang der Linie von ϕ(t) zu dem Punkt (u, v) in der durch C(t), die U- und die V-Achse des lokalen Koordinatensys tems definierten Ebene definiert. Mit P als dem Punkt x – (0, u, 0), wie in 3 gezeigt, und durch die Homogenitätseigenschaft von g, kann man g ausgehend von den entsprechenden Linienintegralen wie folgt ausdrücken:
Mit p als dem Schnittpunkt der Linie von ϕ(t) nach P und der Ebene (C(t), U, V) lauten die Koordinaten des Punktes p im Koordinatensystem (0, w(U – u), wV), wobei w = R/(R – T) ist. Da p = ϕ(t) + w(P – ϕ(t)) = (R, 0, 0) + w(T – R, U – u, V), und w die Konstante ist, die die erste Koordinate von p zu Null werden lässt, gilt dann: p – ϕ(t) = w(P – ϕ(t)) (37a).
Somit gilt:
Durch Einsetzung in Gleichung (36):
Entsprechend wird der Ausdruck für Q₁ zu:
Wenn v als identisch mit wV definiert wird, und nachdem man die Variablen der Integration geändert hat, wird Q₁ zu:
wobei H_t(u, v) durch die Gleichung (1) definiert wird, in der R = ||ϕ'(t)||/2π² ist. Mit anderen Worten, Q₁(x, t) erhält man, indem H_t(u, v) mit dem klassischen Rampenkern in Bezug auf die erste Variable u gefaltet und bei wU bewertet wird, wobei U die zweite Koordinate von x im lokalen Koordinatensystem ist. H_t(u, v) sind die mit der Konstanten gewichteten Projektionsdaten h_t(u, v), geteilt durch den Abstand von ϕ(t) zum Punkt (u, v) auf der Ebene (C(t), U, V).
Somit ist der Ausdruck Q₁ im Wesentlichen eine eindimensionale Faltung der gewichteten Daten mit dem klassischen Rampen-2D-Rekonstruktionsfilter. Im Gegensatz dazu beinhaltet die Berechnung von Q₂ die Berechnung einer Gewichtungsfunktion N, basierend auf der Kenntnis der Anzahl von Schnittpunkte einer Ebene mit einem Teil der Helix ϕ, der Bahn der Kegelscheitelpunkte. Vor der Berechnung von Q₂ muss daher zunächst die Anzahl der Schnittpunkte festgestellt werden.
Erneut Bezug nehmend auf die 1 und 2 sowie mit Bezug auf 6 lautet die Gleichung für die lokalen Koordinatenebenen (cosωt₀, sinωt₀, 0): xcosωt0 + ysinωt0 = 0 (41).
Eine Ebene (Q mit ϕ(t₀) und einem Punkt x des Objektträgers schneidet ϕ an einem anderen Punkt ϕ(t), wenn, und nur wenn der Schnittpunkt I der Linie, die die beiden Scheitelpunkte ϕ(t) und ϕ(t₀) mit der zu ϕ(t₀) gehörenden Koordinatenebene (P₀) verbindet, zur Schnittlinie D der Ebene (Q) mit der Ebene (P₀) gehört. Zu beachten ist, dass I zu beiden Ebenen (Q) und (P₀) gehört. Wenn umgekehrt die Schnittlinie D von (Q) mit (P₀) den Punkt I enthält, der den Schnittpunkt von ϕ(t₀), ϕ(t) mit der Ebene (P₀) bildet, dann gehört ϕ(t) zu (Q), d. h. (Q) schneidet ϕ bei ϕ(t).
Um die Anzahl der Schnittpunkte der Ebene (Q) neben ϕ(t₀) zu zählen, wird die Anzahl der Schnittpunkte der Linie D mit der Spur der Helix auf (P₀) gezählt.
Die Spur von ϕ auf der zu ϕ(t₀) gehörenden lokalen Koordinatenebene (P₀) ist die Menge der Schnittpunkte I der Linie ϕ(t₀)ϕ(t) mit der Ebene (P₀), wenn t in einem Intervall variiert, das t₀ enthält. Auf ähnliche Weise ist die Spur eines Punktes x auf der lokalen Koordinatenebene (P₀) definiert durch den Schnittpunkt M bei der Linie ϕ(t₀), x mit der Ebene (P₀).
Die Spur von ϕ enthält zwei Kurvenzweige, die die u-Achse im Unendlichen schneiden, weil die Linie f(t0)f(t) tangential zu ϕ wird, wenn t zu t₀ tendiert. Die Koordinaten den Schnittpunktes I können als ein Punkt der Linie ϕ(t₀)ϕ(t) wie folgt geschrieben werden: I = (Rcosωt0 + rR(cosωt – cosωt0), Rsinωt0 + rR(sinωt – sinωt0), σt0 + rσ(t – t0)) (42),wobei r eine reelle Zahl ist. Da der Punkt I zu der lokalen Koordinatenebene gehört, müssen die Koordinaten von I die oben stehende Gleichung der lokalen Koordinatenebene erfüllen. Entsprechend ist r = (1 – cosω(t – t₀))^–1. Die Koordinaten von I in der Gleichung (42) beziehen sich auf das ursprüngliche Koordinatensystem OXYZ.
Bezug nehmend auf 3 ist es zur Ermittlung der Koordinaten (u, v) von I in Bezug auf das lokale Koordinatensystem ausreichend, das innere Produkt des Vektors ΩI mit den Einheitsvektoren zu berechnen: μ = [–Rωsinωt0Rωcosωt0σ]/(R2ω2 + σ2)1/2 und (43a), ν = [σsinωt0 – σcosωt0Rω]/(R2ω2 + σ2 )1/2 (43b).
Genauer ausgedrückt: u = <ΩI, μ> und v = <ΩI, ν>. Weil: ΩI = (Rcosωt0 + rR(cosωt – cosωt0), Rsinωt0 + rR(sinωt – sinωt0), rσ(t – t0 )) (44),folgt, dass:
weil t → t₀, u → ±∞ und v → 0 für t = t₀ ± π/ω, werden die Gleichungen (45a) und (45b) zu:
Die Ableitungen von u und v nach t sind:
Für ω und σ > 0 ist die Ableitung von u nach t negativ und die Ableitung von v positiv. Zu beachten ist 7. Diese Analyse von u und v zeigt, dass die Spur der Helix auf einer lokalen Koordinatenebene einen Graph im Raum (u, v) hat, wie in 8 veranschaulicht. Diese Analyse schlägt die folgenden praktischen Kriterien zum Zählen der Anzahl von Schnittpunkten einer Ebene durch einen Rekonstruktionspunkt mit einem Teil der Helix vor. Bezug nehmend auf 9 ist [t₁, t₂] ein Intervall mit t₀ und I₁, I₂ ist die Spur von ϕ(t₁) und ϕ(t₂) auf den jeweils zu t₀ gehörenden lokalen Koordinatenebenen (P₀). (Q) ist eine Ebene mit ϕ(t₀) und einem Punkt x auf dem Objektträger. M ist die Spur von x auf (P₀) und D ist der Schnittpunkt von (Q) mit (P₀).
Betrachtet man die ersten Kriterien, so schneidet (Q)ϕ bei ϕ(t) mit t in [t₁, t₂], wenn, und nur wenn, D den Teil des Zweigs der Spur der Helix von –∞ bis I₁ schneidet. Praktisch ist dies äquivalent mit dem Winkel zwischen den Halblinien Mu' und Md', der kleiner ist als der Winkel zwischen Mu' und MI₁.
Betrachtet man die zweiten Kriterien, so schneidet (Q)ϕ bei ϕ(t) mit t in [t₀, t₂], wenn, und nur wenn, D den Teil des Zweigs der Spur der Helix von I₂ bis ∞schneidet. Praktisch ist dies äquivalent mit dem Winkel zwischen den Halblinien Mu und Md, der kleiner ist als der Winkel zwischen Mu und MI₂.
Q₂, wie in den Gleichungen (32) und (33) definiert, kann weiter quantifiziert werden, indem man die Einheitskugel in die Vereinigung zweier getrennter Halbkugeln aufspaltet, nämlich S/2 und –S/2, die obere und untere Hälfte der Einheitskugel. Gleichung (32) reduziert sich dann zu:
wobei: P(θ, t) = (G(θ, t) – G(–θ, t))|<ϕ'(t), θ>|N(θ, t) (49).
Indem man im zweiten Integral von Q₂ θ durch –θ ersetzt, und weil I(–θ, t) = –I(θ, t), wird die Gleichung (48) zu:
Somit wird Gleichung (32) zu:
Durch Integration bezüglich der Variablen ρ und Ersetzen von G(θ, t) – G(–θ, t) durch den oben stehenden Ausdruck erhält man:
Gleichung (51) ähnelt Gleichung (11) der Defrise-und-Clack-Referenzaufzeichnung, jedoch mit einer unterschiedlichen Gewichtungsfunktion N(θ, t). Die folgende Schreibweise wird beim Transponieren ihrer Ergebnisse verwendet:
(u, v) sind die lokalen Koordinaten des Schnittpunktes der lokalen Koordinatenebene (P₀) mit der durch ϕ(t) gehenden und parallel zur Richtung α verlaufenden Linie;
(u_x, v_x) sind die lokalen Koordinaten der Spur des Rekonstruktionspunktes x;
(s, ψ) sind die Polarparameter des Schnittpunktes der der lokalen Koordinatenebene (P₀) mit der senkrecht zur Richtung θ stehenden und durch x und ϕ(t) gehenden Ebene; und
LH_t(s, ψ) ist das Integral der Funktion H_t entlang der durch die Polarparameter (s, ψ) definierten Linie, wobei s der Abstand von Ω zu der Linie und ψ der Winkel zwischen der u-Achse und Linie ist, siehe 10.
Mit dieser Schreibweise kann Q₂ wie folgt ausgeführt werden:
wobei:
mit Hilfe des grundlegenden Zusammenhangs von Grangeat errechnet werden kann, indem man |<ϕ'(t), θ>|N(θ, t) mit den gewichteten partiellen Ableitungen der Linienintegrale von H_t multipliziert:
wobei H_t eine Funktion ist, die, bis auf einen konstanten Faktor, in ähnlicher Form wie die zur Berechnung von Q₁ definierte Formel auf der lokalen Koordinatenebene definiert wird:
Mit anderen Worten erhält man Q₂, indem man partielle Ableitungen von gewichteten partiellen Ableitungen von Linienintegralen gewichteter Teilkegeldaten an der Spur des Rekonstruktionspunktes zweidimensional rückprojiziert.
Bezug nehmend auf 11 wird ein Koordinatensystem Ω grs definiert, bei dem Ωq entlang Ωϕ(t) verläuft, Ωr parallel zur Schnittlinie D der Farbkoordinatenebene mit der Ebene senkrecht zum Einheitsvektor B verläuft und Ω s senkrecht zu D ist. In diesem Koordinatensystem lauten die Koordinaten des Vektors α(ρ, σ, R)//(ρ², σ², R²)^1/2 und diejenigen des Schnittpunktes N der Linie D mit der Achse Ωs(0, s, 0). Da der Vektor θ senkrecht zu beiden Vektoren (0, s, 0) und dem Vektor Nϕ(t) mit den Koordinaten (0, –s, R) verläuft, sind die Koordinaten von θ proportional zum äußeren Produkt der beiden Vektoren. Folglich lauten die Koordinaten von ϕ(0, R, –s)/(s² + R²)^1/2, und damit gilt:
Wenn a und b die polaren und azimuthalen Winkel der Einheitsvektoren α sind, siehe 11, dann gilt: dα = sin(α)dadb (57).
Aufgrund von:
und
folgt, dass die Jacobi-Formel folgendermaßen lautet:
Somit wird die Gleichung (54) zu:
wobei h_t(ρ, σ) = Rg(α, t). Nach Integration bezüglich σ wird dies zu:
Hieraus kann eine konstruktive Form von Q₂ entwickelt werden. In dem lokalen Koordinatensystem, in dem die Integration bezüglich θ über S/2 ausgeführt wird, kann man den Vektor θ ermitteln, indem man seine Koordinaten in Bezug auf das Koordinatensystem (r, s) mit der durch den Winkel (π/2 – ψ) eingeführten Rotationsmatrix multipliziert. Folglich gilt:
Hinsichtlich des lokalen Koordinatensystems gilt:
Folglich ist:
Wenn darüber hinaus a und b die polaren und azimuthalen Winkel des Vektors θ sind, dann gilt:
und b = ψ (64b).
Somit lautet die Jacobi-Formel:
Demzufolge ist:
was zu Folgendem wird:
Nach Integration bezüglich s gilt:
Speziell Bezug nehmend auf 6 ist die Berechnung von Q₂ 50 in vier Abschnitte unterteilt. Zunächst berechnet ein Prozessor oder Mittel 60 Linienintegrale der gewichteten Teilkegelstrahldaten. Dem folgt ein Prozessor oder Mittel 62, um die partielle Ableitung der Linienintegrale bezüglich der Variablen s zu schätzen, die gemäß der Gleichung (54) den Abstand vom Ursprung Ω des lokalen Koordinatensystems zu den Linien darstellt. Die partiellen Ableitungen der Linienintegrale H_t(s, ψ) werden mittels (R² + s²)/(4π²s²) gewichtet. Diese Gewichtung ist umgekehrt proportional zu cos²(a), wobei a den Divergenzwinkel zwischen der Linie ϕ(t) Ω und der Ebene beschreibt, der durch den Scheitelpunkt ϕ(t) und die durch (s, ψ) parametrisierte Linie erzeugt wird. Um die Berechnung zu vereinfachen, wird bei der gesamten Berechnung von Q₂ die von den Parametern (s, ψ) auf der lokalen Koordinatenebene beschriebene Parallelstrahlgeometrie verwendet.
Um bei der Rekonstruktion der Bilder die Normalisierung der 3D-Rückprojektion sicherzustellen, wird in einem zweiten Abschnitt 46 die zu jeder Linie (s, ψ) gehörende Gewichtung W berechnet. Zur Sicherstellung dieser Normalisierung wird für jede durch (s, ψ) definierte Ebene die Anzahl der Schnittpunkte einer Ebene mit dem Teil der Helix berechnet, in dem die Daten für die Rekonstruktion dreidimensional rückprojiziert werden. Ein Prozessor oder Mittel 70 identifiziert das betroffene Volumen V_t. Genauer gesagt berechnet ein Prozessor oder Mittel 72 für jede durch c indizierte Schicht im betroffenen Volumen V_t die Spuren A_z und B_z der Endpunkte des Rückprojektionsbereichs. Ein Prozessor oder Mittel 74 berechnet die Gewichtungsfunktion W_t für jede Ansicht t jeder Schicht z in Übereinstimmung mit: Wtz(s, ψ) = Ntz(s, ψ)|<ϕ'(t), (s, ψ)>| (68).
Aufgrund der Tatsache, dass die abgeschnittenen Daten in der Rückprojektion nicht verwendet werden, wird auch die Anzahl der Schnittpunktscheitelpunkte mit den nicht abgeschnittenen Daten entlang der Ebene gezählt.
Bezug nehmend auf 12 und weiterhin Bezug nehmend auf 6 ist die Anzahl der Schnittpunkte einer durch die Linie (s, ψ) definierten Ebene ohne Zählung des aktuellen Scheitelpunktes ϕ(t) gleich der Anzahl der Schnittpunkte der Linie (s, ψ) mit den beiden Zweigen der Spur desjenigen Teils der Helix, bei dem die Daten rückprojiziert werden, um eine Schicht des rekonstruierten Volumens zu erzeugen. Diese Anzahl ist konstant und gleich 1, wenn die Linie (s, ψ) die Linie Δ außerhalb des Liniensegments schneidet, das durch die orthogonalen Rückprojektionen von Δ der Spuren der beiden extremen Scheitelpunkte des Helixteils definiert wird. Innerhalb dieses Liniensegments ist die Anzahl entweder 0 oder 2. Da heißt, die Linie (s, ψ) schneidet entweder die beiden Zweige der Spur oder hat keine überhaupt keinen gemeinsamen Punkt mit der Spur. Da zweitens für Linien, entlang denen die Daten abgeschnitten werden, die Gewichtung gleich Null ist, braucht eine Berechnung der Linienintegrale oder anderer mit diesen abgeschnittenen Linien verbundenen Faktoren generell nicht durchgeführt zu werden.
Genauer gesagt ist im Voraus festgelegt, zu wie vielen Schichten die Daten zu rekonstruieren sind, die Anzahl der Pixel pro Schicht usw. Für jede Ansicht t wird bestimmt, welche Schichten von der Ansicht t betroffen sind, und entsprechend wird K für den Rekonstruktionsprozess entweder auf 1 oder 2 eingestellt 76. Nachdem K eingestellt ist, ergibt sich aus der Gleichung (27)C, ebenso die Gewichtung von Q₁, die den Bereich jeder Schicht angibt. Bei 78 wird ein ausreichender Bereich [t_1z, t_1z] gefunden, der die Bedingung 2 erfüllt, d. h. dass der Winkel zwischen den Halblinien Mu' und Md' kleiner ist als der Winkel zwischen Mu' und MI₁, um die Schicht C im Rekonstruktionsvolumen V zu rekonstruieren. Anhand des Bereichs wird die Gewichtung für Q₂ bestimmt. Für jede Ansicht t berechnet ein Schritt oder Mittel 80 die Spuren A_z und B_z von ϕ(t_1z) und ϕ(t_2z) für jede Schicht z in dem betroffenen Volumen v_t. Ein Schritt oder Mittel 82 berechnet die orthogonalen Projektionen a_z und b_z der Spuren A_z und B_z auf die Linie Δ, die einen Winkel ψ mit der u-Achse bildet und durch den Ursprung Ω geht.
Bezug nehmend auf die 6 und 12 berechnet ein Schritt oder Mittel 84 die Anzahl der Schnittpunkte M_tz(s, ψ) des Teils der Helix zwischen ψ(t_1z) und ψ (t_2z) mit der durch ψ(t) und die Linie L(s, ψ) definierten Ebene P(s, ψ), die sich orthogo nal zu der Linie Δ in einem Abstand s von Ω erstreckt. Auch hier kann die Helix die Ebene nur an 1, 2 oder 3 Punkten schneiden. M_tz(s, ψ) = 1 oder 3, wenn die Linie L von (s, ψ) [a_z, b_z] schneidet. Andernfalls gilt M_tz(s, ψ) = 2. Ein Schritt oder Mittel 86 berechnet die Anzahl M'_tz(s, ψ) der Scheitelpunkte unter den Schnittpunkten mit nicht abgeschnittenen Daten entlang der Ebene P(s, ψ). Ein Schritt oder Mittel 88 berechnet die Anzahl N_tz(s, ψ), die dem Schritt oder Mittel 74 für die Berechung der Gewichtungsfunktion W_tz(s, ψ) zugeführt wird. Die Anzahl der Schnittpunkte wird berechnet in Übereinstimmung mit: Ntz(s, ψ) = 0 (69a)wenn die Daten entlang L(s, ψ) abgeschnitten sind, andernfalls mit
Erneut Bezug nehmend auf 6 bestimmt ein Prozessor 90 eine partielle Ableitung nach s und gewichtet sie. Genauer gesagt berechnet ein Schritt oder Mittel 92 I_tz(s, ψ) = W_tz(s, ψ)P_t(s, ψ). Ein Schritt oder Mittel 94 bestimmt die Jacobi-Formel J_tz(s, ψ) wie folgt:
Ein Prozessor 96 multipliziert an jedem Pixel (u, v) in der lokalen Koordinatenebene die Rückprojektion von (u, v) vom Prozessor 90 mit dem Quadrat des Abstands vom Scheitelpunkt ϕ(t) zum Pixel. Genauer gesagt addiert ein Schritt oder Mittel 98 180° von Parallelstrahl-Rückprojektionen. Dabei wird an jedem (u, v) eine e zweidimensionale Parallelstrahl-Rückprojektion vorgenommen, um B_tz(u, v) zu berechnen. Ein Schritt oder Mittel 100 berechnet Q_2tz(u, v) = (u² + v² + R²)B_tz(u, v). Diese Werte von Q₂ werden an die Summierungsmittel 52 weitergeleitet, um mit den entsprechenden Werten von Q₁ kombiniert zu werden.
Bezug nehmend auf die 13 und 14 ist der dreidimensionale Rückprojektor 54 ein Prozessor, der anhand der verarbeiteten Daten, wie beispielsweise der oben beschriebenen Faltungsdaten, die endgültige Rekonstruktion berechnet. Die Rückprojektion ist eine Schätzfunktion von:
wobei Q die verarbeiteten Daten darstellt. Weil die Daten nur an einer endlichen Anzahl von Zeitpunkten gesammelt werden, kann das Integral durch die endliche Summe approximiert werden: f(x) = ΔtΣQ(x, ti) (72).
Weiterhin kann das kontinuierliche Volumen durch eine endliche Anzahl von Voxeln der Größe ΔXΔYΔZ dargestellt werden, das heißt x = (1ΔX, mΔY, nΔZ) + (X₀, Y₀, Z₀) für einige 1 = 0, 1, ..., L – 1, m = 0, 1, ..., M – 1, n = 0, 1, ..., N – 1. (X₀, Y₀, Z₀) ist eine Ecke des dargestellten Volumens.
Wenn Q auf Q₁ reduziert wird, dann wird Q durch geeignete Gewichtung der gefalteten Daten H_t geschätzt. Aufgrund der Tatsache, dass zu jedem Zeitpunkt t Daten nur entlang einer endlichen Anzahl von Strahlengängen innerhalb eines Teilkegelstrahls erfasst werden, muss H_t(u, v) von einer Stichprobe (Ht(iΔv + v0)| i = 0, ..., I – 1, und j = 0, 1, ..., j – 1) ausgehend approximiert werden. Ferner ist zu beachten, dass die Rückprojektion der verarbeiteten Daten nicht das gesamte dargestellte Volumen betrifft, sondern nur einen Teil davon, weil es Daten innerhalb einer Teilkegelgeometrie gibt. Ein weiterer wichtiger Punkt ist, dass die Rückprojektion günstigerweise in einem neuen, durch (C(t), U, V) definierten Koordinatensystem durchgeführt wird.

Speziell Bezug nehmend auf 13 empfängt ein dreidimensionaler Bildspeicher 110 die rückprojizierten Ansichten. Beim Empfang jeder Ansicht t bestimmt ein Mittel oder Schritt zur Bestimmung des betroffenen Volumens 112 den Teil des Volumens aus dem Speicher 110, der von der verarbeiteten Ansicht t betroffen ist. Ein Voxelgenerator 114 tastet alle Voxel in dem betroffenen Teil des Volumens ab. Ein Koordinatentransformationsprozessor 116 wandelt das absolute Koordinatensystem (X, Y, Z) des Voxeladressgenerators in das lokale Koordinatensystem (T, U, V) um. Weiterhin Bezug nehmend auf 13 und zudem Bezug nehmend auf 14 umfasst ein Gewichtungs erzeugungssystem einen ersten Gewichtungsgenerator 118, der einen ersten Gewichtungswert w erzeugt, welcher gleich R/(R – T) ist. Ein zweidimensionaler Eingangsgenerator 120, der lokale Koordinaten eines vom Voxelgenerator vorgegebenen Voxels erzeugt, wobei die lokale Adresse (u, v) ist, erzeugt Gewichtungsfaktoren u und v, wobei u = wU und v = wV. Die Adressen u und v adressieren einen zweidimensionalen Speicher 122, in dem die zweidimensionale Ansicht H_t*RAM gespeichert ist. Ein Eingangsinterpolator 124 verwendet die vom Eingangsspeicher 122 abgerufenen Eingangsdaten und Bruchteile der vom zweidimensionalen Eingangsgenerator 120 berechneten neuen zweidimensionalen Koordinaten, um die Eingangsdaten zu schätzen, die einem Strahlengang durch das vom Voxelgenerator vorgegebene Voxel entsprechen. Ein Multiplizierer 126 multipliziert den Gewichtungsfaktor w mit sich selbst, um einen Gewichtungsfaktor w² zu bilden. Ein Multiplizierer 128 multipliziert die interpolierten Eingangsdaten H_t*RAM (u, v) mit dem ins Quadrat erhobenen Gewichtungsfaktor w². Ein Addierer 130 ruft die aktuellen Werte (B(l, m, n) ab, die zusammen mit dem Produkt des Multiplizierers 128 vom Volumenspeicher 110 abgerufen wurden. Auf diese Weise werden die in jedem Voxel gespeicherten Werte mit jedem zweidimensionalen Satz verarbeiteter Daten aktualisiert. Anfangs weist der dreidimensionale Ausgangsspeicher 110 jedem Pixelwert einen nominalen, nicht mit Null beginnenden Wert zu, z. B. 1. Auf diese Weise wird der Wert bei jedem Voxel iterativ aktualisiert, bis man eine exakte Rekonstruktion erhält. Text in der Zeichnung Figur 1

Instance	Zeitpunkt
partial cone beam data	Teilkegelstrahldaten
compute weight for	Berechnen der Gewichtung für
compute weighted data	Berechnen der gewichteten Daten
Compute Q1	Q1 berechnen
3D back project	3D-Rückprojektion

Figur 6

instance	Zeitpunkt
find affected volume	Auffinden des betroffenen Volumens
weighted data	Gewichtete Daten
Compute Q1	Q1 berechnen
compute the traces A_z and B_z of endpoints of backprojection range for each slice indexed by z in V_t	Berechnen der Spuren A_z und B_z der Endpunkte des Rückprojektionsbereichs für jede durch z indizierte Schicht in V_t
Compute line integral	Berechnen des Linienintegrals
compute the weight	Berechnen der Gewichtung
Compute (formula) perform parallel beam 2D backprojection of ... to compute ..	Berechnen von ... Durchführen einer Parallelstrahl-2D-Rückprojektion von ... zum Berechnen von ...
3D back-project	3D-Rückprojektion
Part 3/4	Teil 3/4

Figur 12

Instance	Zeitpunkt
set K = 1 or K = 2	Setzen von K = 1 oder K = 2
for slice z in affected volume V_t compute traces A_z and B_z of ... and ...	Berechnen der Spuren A_z und B_z von ... und ... für die Schicht z im betroffenen Volumen V_t
find sufficient range ... which satisfies condition 11 to reconstruct size z in recon volume V	Finden eines ausreichenden, die Bedingung 11 erfüllenden Bereichs ... zur Rekonstruktion der Größe z im Rekonstruktionsvolumen V
compute orthogonal projections a_z and b_z of A_z and B_z onto line ... making angle ... with u-axis and going through origin ...	Berechnen orthogonaler Projektionen a_z und b_z von A_z und B_z auf die einen Winkel ψ mit der u-Achse bildende und durch den Ursprung Ω verlaufende Linie Δ
compute number of intersections ... of portion of helix between ... and ... with plane ... defined by ... and line ... which is orthogonal to ... at a distance s from ... . M_tz(s, ψ) = 1 or 3 if L(s, ψ) cuts [a_z, b_z] = 2 otherwise	Berechnen der Anzahl der Schnittpunkte M_tz(s, ψ) des Abschnitts der Helix zwischen ϕ(t_1z) und ϕ(t_2z) mit der Ebene P(s, ψ), die durch ϕ(t) und die Linie L(s, ψ) definiert wird, die orthogonal ist zu Δ in einem Abstand s von Ω. M_tz(s, ψ) = 1 oder 3, wenn L(s, ψ) [a_z, b_z] schneidet = 2 andernfalls
compute number ... of vertices among the intersections with non-truncated data along plane ...	Berechnen der Anzahl ... von Scheitelpunkten unter den Schnittpunkten mit nicht abgeschnittenen Daten entlang der Ebene ...
compute if data along ... truncated ... otherwise	Berechnen, wenn Daten entlang ... abgeschnitten Andernfalls ...
compute ...	... berechnen

Figur 13

Instance	Zeitpunkt
voxel address generator	Voxel-Adressgenerator
volume affected at this instance Compute ..	Zu diesem Zeitpunkt betroffenes Volumen .. berechnen
interpolate input data to estimate ...	Interpolieren der Eingangsdaten, um H_t* Ram(u, v) zu schätzen

Figur 14

multiplier	Multiplizierer
2D input RAM	2D-Eingangs-RAM
2D interpolator	2D-Interpolator

Claims

Verfahren zur diagnostischen Bildgebung, das die folgenden Schritte umfasst: – Bewegen des Scheitelpunkt eines Kegelstrahls entlang einer spiralförmigen Bahn, – Bestrahlen einer Person mit dem Kegelstrahl, – Konvertieren der hindurchgegangenen Strahlung in eine Vielzahl von Teilkegelstrahlansichten, wobei die Teilkegelstrahlansichten in einer Richtung parallel zu einer Bahntangente am Scheitelpunkt nicht abgeschnitten werden und in einer anderen Richtung abgeschnitten werden, und – Rekonstruieren der Teilkegelstrahlansichten zu einer volumetrischen Bilddarstellung, wobei das Rekonstruktieren die folgenden Schritte umfasst: – Verarbeiten jeder Teilkegelstrahlansicht, um eine gewichtete Ansicht zu erzeugen, – Berechnen einer ersten zweidimensionalen Komponenten (Q1), die sich proportional zu einem konstanten Teil einer Redundanzgewichtungsfunktion verhält, indem im Wesentlichen eine eindimensionale Faltung der gewichteten Ansicht entlang der Richtung der Tangente zur spiralförmigen Bahn am Scheitelpunkt mit einem Rekonstruktionsfilter vorgenommen wird, – Berechnen einer zweiten zweidimensionalen Komponenten (Q), die einem nicht konstanten Teil der Redundanzgewichtungsfunktion entspricht, indem im Wesentlichen an der Spur des Rekonstruktionspunktes eine zweidimensionale Rückprojektion einer partiellen Ableitung einer gewichteten partiellen Ableitung von Linienintegralen der gewichteten Ansicht vorgenommen wird, wobei die gewichtete Ansicht mit dem nicht konstanten Teil der Redundanzgewichtungsfunktion multipliziert wird, der auf der Basis der Schnittpunkte einer Ebene mit einem Teil der spiralförmigen Bahn berechnet wurde, und – Rückprojizieren der ersten und der zweiten Komponente in einen betroffenen Bereich der volumetrischen Bilddarstellung.
Verfahren nach Anspruch 1, das weiterhin folgende Schritte umfasst: – Definieren von Ebenen und Voxelpositionen der volumetrischen Bilddarstellung; und – Rekonstruieren der Teilkegelstrahlansichten basierend auf den definierten Ebenen und Voxelpositionen, so dass die Teilkegelstrahlansichten zu mindestens zwei der Ebenen beitragen, um die volumetrische Bilddarstellung zu erzeugen.
Verfahren nach Anspruch 1, wobei die Schritte Folgendes umfassen: – Empfangen der Strahlung mit einem Strahlungsdetektor, der eine zweidimensionale Anordnung von Detektorelementen aufweist; – Drehen des Scheitelpunktes entlang mindestens eines spiralförmigen Bogensegments der spiralförmigen Bahn; – Abtasten des Strahlungsdetektoren an einer Vielzahl von Winkelinkrementen entlang des spiralförmigen Bogensegments, um eine Vielzahl von zweidimensionalen Datenwertanordnungen zu erzeugen, wobei jeder der Datenwerte einem Detektorelement und jede der Anordnungen einer Teilkegelstrahlansicht entspricht; und die Rekonstruktionsschritte Folgendes umfassen: – Gewichten der Datenwerte jeder zweidimensionalen Anordnung gemäß dem Kosinus eines Winkels zwischen einem Strahl, der vom Scheitelpunkt ausgeht und den Detektorelementen entspricht, und einem Strahl, der vom Scheitelpunkt ausgeht und senkrecht zu einer lokalen Koordinatenebene am Strahlungsdetektor verläuft; – Multiplizieren jedes Wertes der zweiten Komponenten gemäß dem Quadrat eines Abstandes vom Scheitelpunkt zum Detektorelement, das dem Wert der zweiten Komponente entspricht; – Addieren der ersten Komponente und der zweiten Komponente; und – dreidimensionales Rückprojizieren der Summe in einen volumetrischen Bildspeicher.
Verfahren nach Anspruch 1, wobei die Rekonstruktionsschritte Folgendes umfassen: – Berechnen einer kosinus-gewichteten partiellen Ableitung der Linienintegrale.
Verfahren nach Anspruch 1, das weiterhin den Schritt der Berechnung einer Gewichtungsfunktion beinhaltet, der Folgendes umfasst: – Bestimmen eines Teilvolumens der von jeder der Teilkegelstrahlansichten betroffenen volumetrischen Bilddarstellung; und – Berechnen von Endpunktspuren eines Rückprojektionsbereiches für jede Schicht innerhalb der volumetrischen Bilddarstellung, und ein Mittel zum Multiplizieren mit einem auf der Spur basierenden Gewichtungswert, um die Gewichtungsfunktion zu erzeugen.
Verfahren nach Anspruch 5, das weiterhin den Schritte der Erzeugung des Gewichtungswertes beinhaltet, der Folgendes umfasst: – Berechnen orthogonaler Projektionen der Spuren; – Berechnen einer Anzahl von Schnittpunkten zwischen dem Abschnitt der spiralförmigen Bahn und der Ebene, der durch die partielle Ableitung der Linientintegrale definiert wird; – Bestimmen der Anzahl von Malen, die die Ebene den Abschnitt der spiralförmigen Bahn schneidet; – Bestimmen der Schnittpunkte von Scheitelpunkten mit nicht abgeschnittenen Daten entlang der Ebene; und – Nullsetzen der Gewichtungsfunktion für abgeschnittene Daten und Gleichsetzen der Gewichtungsfunktion für nicht abgeschnittene Daten mit einem Wert, der proportional zu 1 minus der Anzahl der Schnittpunkte geteilt durch eine Konstante und mit einem Kehrwert einer Anzahl von Scheitelpunkten unter den Schnittpunkten gewichtet ist, um den Gewichtungswert zu erzeugen.
Verfahren nach Anspruch 2, wobei die Rekonstruktionsschritte das Rückprojizieren von jeder der Summen in einen dreidimensionalen volumetrischen Bereich der volumetrischen Bilddarstellung umfassen, so dass jede rückprojizierte Summe zu einer Vielzahl paralleler Ebenen der volumetrischen Bilddarstellung beiträgt.
Verfahren nach Anspruch 7, wobei der Schritt der Rückprojektion Folgendes umfasst: – Bestimmen eines volumetrischen Segments der von jedem zweidimensionalen Rückprojektionsdatensatz betroffenen volumetrischen Bilddarstellung; – Erzeugen von Voxeladressen für die dreidimensionale volumetrische Bilddarstellung, die dem betroffenen Volumen entsprechen; – Koordinieren eines Koordinatensystems der volumetrischen Bilddarstellung und jedes zweidimensionalen Datensatzes; – Adressieren des zweidimensionalen Datensatzes, um Datenwerte abzurufen, die jeder erzeugten Voxeladresse entsprechen; – Gewichten jedes aus dem zweidimensionalen Datensatz abgerufenen Datensatzes; und – Abrufen eines gespeicherten Datenwertes aus der volumetrischen Bilddarstellung, der jeder erzeugten Voxeladresse entspricht, und Addieren des entsprechenden gewichteten Datenwertes aus dem zweidimensionalen Datensatz hierzu.
Diagnostische Bildgebungsvorrichtung, die Folgendes umfasst: – eine Strahlungsquelle (16) zur Erzeugung eines Kegelstrahls (20), – Mittel, um die Strahlungsquelle und eine Person relativ zueinander zu bewegen, so dass sich ein Scheitelpunkt des Kegelstrahls (20) entlang einer spiralförmigen Bahn bewegt, – ein Strahlungsdetektor (30), um Strahlung, die die Person durchquert hat, in eine Vielzahl von zweidimensionalen Teilkegelstrahlansichten umzuwandeln, wobei jede Teilkegelstrahlansicht in einer Richtung parallel zu einer Tangente der spiralförmigen Bahn am Scheitelpunkt nicht abgeschnitten ist und in einer anderen Richtung abgeschnitten ist, und – Rekonstruktionsmittel (44, 46, 48, 50, 52, 54), um die Teilkegelstrahlansichten zu verarbeiten und die verarbeiteten Teilkegelstrahlansichten in eine volumetrische Bilddarstellung rückzuprojizieren, wobei die Rekonstruktionsmittel Folgendes umfassen: – Prozessormittel (44), um für jede der Teilkegelstrahlansichten eine gewichtete Ansicht zu berechnen, – Prozessormittel (48), um eine erste zweidimensionale Komponente (Q1) zu berechnen, die sich proportional zu einem konstanten Teil einer Redundanzgewichtungsfunktion verhält, indem im Wesentlichen eine eindimensionale Faltung der gewichteten Ansicht entlang der Richtung der Tangente zur spiralförmigen Bahn am Scheitelpunkt mit einem Rekonstruktionsfilter vorgenommen wird, – Prozessormittel (46, 50), um eine zweite zweidimensionale Komponente (Q2) zu berechnen, die einem nicht konstanten Teil der Redundanzgewichtungsfunktion entspricht, indem im Wesentlichen an der Spur des Rekonstruktionspunktes eine zweidimensionale Rückprojektion einer partiellen Ableitung einer gewichteten partiellen Ableitung von Linienintegralen der gewichteten Ansicht vorgenommen wird, wobei die gewichtete Ansicht mit dem nicht konstanten Teil der Redundanzgewichtungsfunktion multipliziert wird, der auf der Basis der Schnittpunkte einer Ebene mit einem Abschnitt der spiralförmigen Bahn berechnet wird, und – Rückprojektionsmittel (52, 54), um die erste und die zweite Komponente in einen betroffenen Bereich der volumetrischen Bilddarstellung rückzuprojizieren.
Vorrichtung nach Anspruch 9, wobei die Rückprojektionsmittel vorgesehen sind, um die Teilkegelstrahlansichten basierend auf definierten Ebenen und Voxelpositionen so zu rekonstruieren, dass die Teilkegelstrahlansichten zu mehreren Ebenen beitragen, um die volumetrische Bilddarstellung zu erzeugen.
Vorrichtung nach Anspruch 9 oder 10, wobei der Strahlungsdetektor vorgesehen ist, – um die Strahlung auf einer zweidimensionalen Anordnung von Detektorelementen zu empfangen, und – um an einer Vielzahl von Winkelinkrementen entlang eines spiralförmigen Bogensegments der vom Scheitelpunkt zurückgelegten spiralförmigen Bahn abgetastet zu werden, um eine Vielzahl von zweidimensionalen Datenwertanordnungen zu erzeugen, wobei jeder der Datenwerte einem Detektorelement und jede der Anordnungen einer der Teilkegelstrahlansichten entspricht; und die Rückprojektionsmittel vorgesehen sind, – um die Datenwerte jeder zweidimensionalen Anordnung gemäß dem Kosinus eines Winkels zwischen einem Strahl, der vom Scheitelpunkt ausgeht und den Detektorelementen entspricht, und einem Strahl, der vom Scheitelpunkt ausgeht und senkrecht zu einer lokalen Koordinatenebene am Strahlungsdetektor verläuft, zu gewichten; – um jeden Wert der zweiten Komponenten gemäß dem Quadrat eines Abstandes vom Scheitelpunkt zum Detektorelement, das dem Datenwert entspricht, zu multiplizieren; – um die erste Komponente und die zweite Komponente zu addieren, und die Rückprojektionsmittel für eine dreidimensionale Rückprojektion der Summe in einen volumetrischen Bildspeicher vorgesehen sind.
Vorrichtung nach Anspruch 9, wobei die Rückprojektionsmittel vorgesehen sind – um eine kosinus-gewichtete partielle Ableitung der Linienintegrale zu berechnen.
Vorrichtung nach Anspruch 9, wobei die Rückprojektionsmittel Prozessormittel (70, 72, 74, 82, 84, 86, 88) umfassen, um eine Gewichtungsfunktion zu berechnen, und die Prozessormittel vorgesehen sind – um ein Teilvolumen der von jeder der Teilkegelstrahlansichten betroffenen volumetrischen Bilddarstellung zu bestimmen; und – Endpunktspuren des Rückprojektionsbereiches für jede Schicht innerhalb der volumetrischen Bilddarstellung zu berechnen, und ein Mittel enthalten, um einen auf der Spur basierenden Gewichtungswert zu multiplizieren und die Gewichtungsfunktion zu erzeugen.
Vorrichtung nach Anspruch 13, wobei die Prozessormittel (70, 72, 74, 82, 84, 86, 88) für die Berechnung des Gewichtungswertes weiterhin vorgesehen sind – um orthogonale Projektionen der Spuren zu berechnen; – um eine Anzahl von Schnittpunkten zwischen dem spiralförmigen Bogensegment und einer Ebene zu berechnen, die durch erste Ableitung der Linientintegrale definiert wird; – um eine Anzahl von Malen, die die Ebene den Teil das spiralförmigen Bogensegment schneidet, zu bestimmen; – um Schnittpunkte der Scheitelpunkte mit den nicht abgeschnittenen Daten entlang der Ebene zu bestimmen; und – um die Gewichtungsfunktion für abgeschnittene Daten auf Null zu setzen, und die Gewichtungsfunktion für nicht abgeschnittene Daten mit einem Wert gleich zu setzen, der proportional zu 1 minus der Anzahl der Schnittpunkte geteilt durch eine Konstante und mit einem Kehrwert einer Anzahl von Scheitelpunkten unter den Schnittpunkten gewichtet ist, um den Gewichtungswert zu erzeugen.
Vorrichtung nach einem der Ansprüche 9 bis 14, wobei der Rekonstruktionsprozessor vorgesehen ist, um jede der Teilkegelstrahlansichten in einen dreidimensionalen volumetrischen Bereich der volumetrischen Bilddarstellung rückzuprojizieren, so dass jede rückprojizierte Summe zu einer Vielzahl paralleler Ebenen der volumetrischen Bilddarstellung beiträgt.
Vorrichtung nach Anspruch 15, wobei der Rekonstruktionsprozessor vorgesehen ist – um ein volumetrisches Segment der von jedem zweidimensionalen Rückprojektionsdatensatz betroffenen volumetrischen Bilddarstellung zu bestimmen; – um Voxeladressen für die dreidimensionale volumetrische Bilddarstellung zu erzeugen, die dem betroffenen Volumen entsprechen; – um ein Koordinatensystem der volumetrischen Bilddarstellung und jeden zweidimensionalen Datensatz zu koordinieren; – um den zweidimensionalen Datensatz zu adressieren, um Datenwerte abzurufen, die jeder erzeugten Voxeladresse entsprechen; – um jeden aus dem zweidimensionalen Datensatz abgerufenen Datensatz zu gewichten; und – um einen gespeicherten Datenwert aus der volumetrischen Bilddarstellung abzurufen, der jeder erzeugten Voxeladresse entspricht, und um den entsprechenden gewichteten Datenwert aus dem zweidimensionalen Datensatz hierzu zu addieren.