WO1999048030A1

WO1999048030A1 - Verfahren und vorrichtung zur ermittlung einer störung eines technischen systems

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Publication number: WO1999048030A1
Application number: PCT/DE1999/000239
Authority: WO
Inventors: Georg Denk; Oliver Schein
Original assignee: Siemens Aktiengesellschaft
Priority date: 1998-03-18
Filing date: 1999-01-29
Publication date: 1999-09-23
Also published as: US6556954B1; EP1062604B1; EP1062604A1; DE59900409D1

Abstract

Es wird ein technisches System, welches einer Störung unterliegt, mittels eines impliziten stochastischen Differentialgleichungssystems beschrieben. Eine näherungsweise Lösung des Systems wird ermittelt, indem ein diskreter Näherungsprozeß realisiert wird. Der diskrete Näherungsprozeß wird gemäß der Vorschrift (a) realisiert. Durch iterative Lösung des Näherungsprozesses wird die Störung (b) ermittelt.

Description

Beschreibung

Verfahren und Vorrichtung zur Ermittlung einer Störung eines technischen Systems

Die numerische Simulation elektrischer Schaltungen hat in den letzten Jahren große Bedeutung bei der Entwicklung von Computerchips erlangt. Aufgrund der hohen Kosten für eine Musteranfertigung eines Chips und eines möglichen Redesigns sind Simulatoren unabdingbar geworden. Mit ihnen ist es möglich, prädiktive Aussagen über Betriebsverhalten und Effizienz der modellierten Schaltung an einem Rechner zu erhalten. Nach erfolgreichen Simulationsergebnissen wird üblicherweise ein Chip in Silizium gebrannt.

Unter Verwendung des sogenannten Netzwerkansatzes wird eine Schaltung durch ihre topologischen Eigenschaften, die charakteristischen Gleichungen von Schaltelementen und die Kirch- hoffschen Regeln beschrieben.

Zur Analyse einer Schaltung wird die aus [1] bekannte sogenannte modifizierte Knotenanalyse eingesetzt. Diese führt auf ein differential-algebraisches Gleichungssystem der Form

C(x(t)) • x(t) + f(x(t)) + s(t) = 0. (1)

Allgemein ist unter einem differential-algebraischen Gleichungssystem ein Gleichungssystem des Typs

F x(t), x(t), t

zu verstehen mit einer singulären Jacobi-Matrix F. der par- x tiellen Ableitungen von F nach x(t) . Das differential-algebraische Gleichungssystem (1) wird auch als quasilineares-implizites Gleichungssystem bezeichnet. Mit x(t) wird ein von einer Zeit t abhängiger Verlauf von Knotenspannungen bezeichnet, mit x(t) dessen Ableitung nach der Zeit t. Mit f(x(t)) wird eine erste vorgegebene Funktion bezeichnet, welche Leitwerte und nicht-lineare Elemente enthält, mit c(x(t)) eine vorgegebene Kapazitätsmatrix und mit s(t) eine zweite vorgegebene Funktion, die unabhängige Spannungsquellen und Stromquellen enthält.

Die Gleichung (1) beschreibt nur den Idealfall für eine Schaltung. In der Praxis läßt sich jedoch Rauschen, d.h. eine Störung der Schaltung, nicht vermeiden. Unter Rauschen versteht man eine ungewollte Signalstörung, die beispielsweise durch thermische Effekte oder die diskrete Struktur der Elementarladung verursacht wird. Aufgrund der fortschreitenden Integrationsdichte integrierter Schaltungen wächst die Bedeutung der prädiktiven Analyse solcher Effekte (Rauschsimulation) .

Bei der Analyse einer Schaltung unter Berücksichtigung von Rauschen kann die Gleichung (1) nodelliert werden als:

C(x(t)) ^■ x(t) + f(x(t)) + s(t) + B(t, x(t)) • v(ω, t) = 0. (3)

Hierbei bezeichnet v(ω, t) einen m-dimensionalen Vektor, dessen unabhängige Komponenten verallgemeinertes weißes Rauschen sind, wobei m die Zahl der Störstromquellen angibt. Eine auch als Intensitätsmatrix bezeichnete Matrix ß(t, x(t)) hat die Di- mension n x m. Tritt nur thermisches Rauschen in linearen Widerständen auf, so ist sie konstant.

Wird die Schaltung mit rein linearen Elementen modelliert, so wird die Vorschrift (3) zu einem gestörten linear-impliziten differential-algebraischen Gleichungssystem der Form C • x(t) + G • x(t) + s(t) + B(t, x(t)) • v(ω, t) = 0. (4)

Unter dem Begriff Index ist im weiteren ein Maß zu verstehen, wie weit sich ein differential-algebraisches Gleichungssystem von einem expliziten gewöhnlichen Differentialgleichungssy- stem "unterscheidet", wie viele Ableitungsschritte erforderlich sind, um aus dem differential-algebraischen Gleichungssystem ein explizites gewöhnliches Differentialgleichungssystem zu erhalten.

Ohne Einschränkung der Allgemeingültigkeit und bei Existenz verschiedener Begriffsdefinitionen des Begriffs "Index", wird im weiteren folgende Definition für den Index eines differen- tial-algebraischen Gleichungssystems verwendet:

Gegeben sei ein differential-algebraisches Gleichungssystem des Typs

x(t), x(t), t = 0 (2:

Existiert eine kleinste natürliche Zahl i, so daß die Gleichungen

x(t), x(t), t 0,

dF x(t), x(t), t

= 0, dt

d^F x(t), x(t), t

= 0 dt (i) algebraisch in ein System expliziter gewöhnlicher Differentialgleichungen umgeformt werden können, so wird i als der Index des differential-algebraischen Gleichungssystems bezeich- net. Die Funktion F wird dabei als ausreichend oft differenzierbar vorausgesetzt.

Unter einem stochastischen Differentialgleichungssystem ist im weiteren allgemein folgendes Differentialgleichungssystem zu verstehen:

Gegeben sei ein Wiener-Hopf-Prozeß j ^; t e 9ϊc auf einem

Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P) zusammen mit seiner kanonischen Filtration {c_s; s e [a, b]j . Seien ferner h und G: [a, b] x 9? → 9. zwei NBΓ^I X Bl - Bj -meßbare Zufallsvariablen und X:Ω -. S eine (c_a - B)-meßbare Funktion. Ein stochasti- sches Differentialgleichungssystem ist gegeben durch das Itδ- Differential

X_s:Ω→ 3i,

ω i→ X(ω) + J h(u, X_u(ω))dλ(u) + j G(U, X_u)dW_u (ω)

[a,s] a

oder symbolisch

dX_s = h(s, X_s)ds + G(s, X_s)dW_s, s e [a, b]; X_a = X . ( 9 )

Folgendes Verfahren zur Rauschsimulation ist aus [2] bekannt.

Die Vorschrift (4) kann für den Fall einer rein additiven

Störung entkoppelt werden in einen differentiellen und einen algebraischen Teil.

Für den Fall einer rein additiven Störung gilt: B(t, x(t)) ≡ B(t), do;

d.h. die Intensitätsmatrix hängt nur von der Zeit t ab.

Damit wird (4) zu

C • x(t) + G • x(t) + s(t) + B(t) • v(ω, t) = 0. (iι;

Unter den Annahmen, daß konsistente Anfangswerte

Xdetlto)' Xdetlto) ^zu einer Anfangszeit t(j gegeben sind und

bei Regularität des Matrixbüschels {λC + G; λ e C}, existiert eine eindeutige Lösung x^e zu (1) in der Form

C ^• xdet+ G ^• x^et + s = 0. (12)

Ein Matrixbüschel {λC + G; λ s C} ist regulär, falls ein λg aus C existiert derart, daß gilt:

det(λ₀C + G) ≠ 0. (13)

λ

Konsistente Anfangswerte ^xdet(tθ)' xdet(t₀) können dadurch

J gewonnen werden, daß man einen DC-Arbeitspunkt des Systems, welches durch (12) beschrieben wird, bestimmt, also xdet = 0 setzt. Aus [3] ist ein weiteres Verfahren zur Ermittlung kon- f . \ sistenter Anfangswerte ^xdet(tθ)' xdet(to) bekannt .

Nach einer Transformation, die im folgenden beschrieben wird, gelangt man zu Vorschriften, die zur Vorschrift (11) äquiva- lent sind, der folgenden Form: y + Fl m + F₂ • yM + _σM + (B(t) • v(ω, t) - = ^'14^'

und

*3 .H + F4 + σM + (B(t) ^• v(ω, t))W = .15)

mit transformierten Anfangsbedingungen

'Wdet(to): = -1 .. ,_. * [1]J ( ^{"1 ■} x_det(tθ) :i6:

■[1] [1]

Y det(to): = T ^• xdet(to) 17;

und

[²] y[2]_det(to): = (T ^{X •} Xdetfo)) >

•[2] r ] y det(to = T ^{l •} xdet(to) :i9.

und mit

B(t): = S • B(t) (20;

Mit F_j_ , i = 1, 2, 3, 4, wird jeweils eine vorgebbare Matrix bezeichnet.

Die Transformation hat zum Ziel, die Vorschrift (11) in ein semi-explizites Differentialgleichungssystem des Typs der

Vorschriften (14) und (15) in der Variable y = f ylAJ, yL²Jj _mit geeigneten Matrizen FJL und einer Funktion σ = σl -, σ- - zu überführen.

Zur Matrix C aus (11) findet man dazu zwei reguläre Matrizen S und T derart, daß die Vorschrift

S • C • T = blockdiag(l, N) (21)

erfüllt ist, wobei mit I eine Einheitsmatrix der Dimension r und mit N eine Nullmatrix der Dimension (n-r) bezeichnet wird.

Mittels Gauß Elimination mit vollständiger Pivotstrategie werden zwei reguläre Matrizen Pj_ und Qi ermittelt mit

PL ^• C ^• Qi = C_X , (22;

wobei eine Matrix C eine rechte obere Dreicksmatrix ist, deren r erste Diagonalelemente ungleich dem Wert Null sind. Die Matrix C hat ab der (r+l)-ten Zeile einschließlich nur Einträge mit dem Wert Null. Die Matrix Q]_ wird als orthogonale Spalten-Permutationsmatrix gewählt. Die Matrix l ist das Produkt aus einer linken unteren Dreiecksmatrix und einer orthogonalen Zeilen-Permutationsmatrix .

Durch eine Multiplikation mit einer regulären rechten oberen Dreiecksmatrix M von rechts werden alle Einträge der Matrix C_]_ oberhalb ihrer Diagonalen eliminiert:

C2: = Ci • M = diag K\ , ... , λ_m, 0, ... ,0 !23!

(n - r)-mal,

Durch eine Multiplikation mit einer regulären Diagonalmatrix M von links werden alle nichtverschwindenden Diagonalelemente der Matrix C₂ auf den Wert 1 transformiert: C3: = M • C = diag 1, ... ,1, 0, ... ,0 .24 : ^r-mal (n -r)-mal,

Die Matrizen S: = M • P]_ und T: = Qi • M^ leisten das Gewünsch- te.

Durch Setzen von y: = T^-1 • x , E: = C3 = S • C • T , F: = S • G • T und σ = S • s in Vorschrift (11) ergibt sich

y+F- y + σ + B- v = 0 (25)

Um die spezielle Struktur der Matrix C3 auszunutzen, wird y in einen ersten Vektor y*- , der die ersten r Komponenten enthält, und in einen zweiten Vektor yfe^Li ^' , der die restlichen

(n-r) Einträge enthält, unterteilt:

= (y^(ll< y ^2] [261

Die Matrix F wird in 4 Untermatrizen Fj_ , i = 1, 2, 3, 4 der Dimensionen r x r, r x (n-r) , (n-r) x r, (n-r) x (n-r) aufgeteilt:

JE^

F = : 27 ) \v3fc4j

Für die Matrix E wird eine entsprechende Aufteilung gewählt,

Die Matrix E ist eine Einheitsmatrix der Dimension r x r und die Matrizen E₂, E3 und E4 sind Nullmatrizen. Somit zerfällt (25) in die beiden Vorschriften (14) und (15) . 9 Ist die Matrix F4 invertierbar, was genau dann der Fall ist, wenn das System aus Vorschrift (12) den Index 1 besitzt, so kann die Vorschrift (15),

F₃ • yW + F₄ • yl²] + σt²] + (§(t) • v(ω, t) ²- = 0 ( 15 )

nach yl J aufgelöst werden, was zu folgender Vorschrift führt :

yM = -F₄-¹ • |F₃ • yW + J²1 + (§(t) • v(ω, t))[²-j . ₍₂₈)

Im folgenden werden folgende abkürzende Bezeichnungen eingeführt :

F: = F_λ - F₂ • F₄ ^_1 • F₃ ; (29 )

s: = σl¹-! - F₂ • F₄ ^_1 • σl²J ; ( 30 )

B(t, x): = (l_r,-F₂ • F₄ ^_1) • B(t) . ( 31 )

Mit I_r wird eine Einheitsmatrix der Dimension r, also des

Rangs der Matrix C bezeichnet.

Durch Einsetzen von Vorschrift (28) in Vorschrift (14) ergibt sich:

^[1] Ml y + F • yl¹J + s + B(t) • v(ω, t) = 0. (32)

Vorschrift (32) kann als ein stochastisches Differentialglei- chungssystem interpretiert werden der folgenden Form:

dY = yW - |F . yW + sldt - B(t)dW_t . (33) 10 it Y!_. * wird eine Zufallsvariable mit einem Erwartungswert to y _t(to) bezeichnet, die eine endliche Varianz aufweist. <Wt; t e 9?_Q> ist ein Wiener-Hopf-Prozeß der Dimension der Anzahl der Rauschquellen, allgemein der Anzahl der Störquellen.

Das Verfahren aus [2] geht aus von Vorschrift (33) , deren eindeutiger Lösungsprozeß Yfil^J als Itδ-Differential durch die Gleichung

4^1] - Φt.to 4 )

^ w0 _ J Φ_t/U ^• s(u)dλ(u) + J Φ_t,u ^• B(u>dw-u : 3

.[to ] t₀

mit dem Fundamentalsystem von Lösungen

Φt.tg exp - J Fdλ(u) = exp{(t₀ - t)F} :35i [tθt]

gegeben ist.

Bei dem Verfahren aus [2] werden die Erwartungswerte E^ und die zweiten Momente P der Zufallsvariablen Y [ι^Jl näherungsweise bestimmt. Der Erwartungswert eines Itδ-Integrals ist gleich dem Wert 0. Somit erhält man aus Vorschrift (34) direkt

E_t : = E Y w ^!) = ^φt,t₀ ^• y^et^o) - I ^φt,u ^• έ(u)^dλ(u) : 35 j

[tot]

Für alle t löst E^ das gewöhnliche Differentialgleichungssystem 11

xt+ F • x-(- + s = 0; ^χt₀ = &it^o) :36)

Die zweiten Momente

P_t = E ¹' ( 37 :

der Zufallsvariablen Y ^■■ des Lösungsprozesses genügen für alle t dem Differentialgleichungssystem

= -F • P_t - P_t - s dt E_t S^T + B(t) • B(t)¹ ^'38^'

wobei eine Anfangsbedingung durch

^ptn = ^E' _Y .39) tWo • vYtMo

gegeben ist. Bei (38) handelt es sich um ein lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem.

Parallel zur transienten Simulation der Schaltung werden bei dem Verfahren aus [2] durch numerische Integration mit linearen impliziten Mehrschrittverfahren näherungsweise die Erwartungswerte E^ und die zweiten Momente - ermittelt.

Ein Nachteil dieses Verfahrens ist darin zu sehen, daß zur Bestimmung der zweiten Momente P^- für jeden Zeitschritt lineare Gleichungssysteme von quadratischer Ordnung in der Anzahl m der Rauschquellen gelöst werden.

Das Verfahren basiert auf einer manuellen Indexreduktion des differential-algebraischen Gleichungssystems auf ein explizites stochastisches Differentialgleichungssystem, die nicht automatisierbar ist. Außerdem wird nur ein Teil der Rauscheffekte betrachtet. Ferner liefert das Verfahren keine pfadwei- 12 se Information, sondern nur die Momente der Knotenpotentiale, die bei der Indexreduktion erhalten bleiben. Für die Knotenpotentiale, die durch die Indexreduktion unterdrückt werden, liefert dieses Verfahren keine Information.

Ein weiterer Nachteil des Verfahrens aus [2] ist darin zu sehen, daß bei diesem Verfahren die Indexreduktion äußerst ineffizient sowie auch nicht automatisch durchführbar ist, insbesondere da die algebraischen Variablen in dem differen- tial-algebraischen Gleichungssystem nicht berücksichtigt werden. Die Indexreduktion muß bei dem Verfahren aus [2] analytisch manuell durchgeführt werden, da die numerischen Verfahren nicht stabil sind.

Ferner ist es aus [4] bekannt, eine Rauschsimulation einer integrierten Schaltung im Frequenzbereich durchzuführen. Dadurch läßt sich eine Schaltung jedoch nur im Kleinsignalbereich analysieren. Die Voraussetzung eines festen Arbeitspunktes ist jedoch häufig nicht gegeben. Beispielsweise verhindert das Schwingverhalten eines Oszillators in einer Schaltung einen einheitlichen Arbeitpunkt.

In [5] ist eine Schaltungsbeschreibungssprache SPICE beschrieben, mit der eine elektrische Schaltung in einer für einen Rechner verarbeitbarer Form beschreibbar ist.

Aus [6] ist ein Verfahren zur numerischen Behandlung eines stochastischen Differentialgleichungssystems bekannt, die pfadweise Simulation diskreter Approximationen an den Lö- sungsprozeß, das als Runge-Kutta-Schema bezeichnet wird.

Aus [7] ist ein Simulator bekannt, der

• eine Initialisierungseinheit,

• eine Inkrementiereinheit, • eine Einheit zur Aktualisierung eines Schätzwerts, und

• eine Ausgabeeinheit 13 umfaßt. Von der Initialisierungseinheit wird ein Initialisierungswert eines Zustands und einer Funktion, mit denen ein System, welches einer zufälligen Störung unterliegt, beschrieben wird, der Inkrementiereinheit zugeführt. Die Inkre- mentiereinheit verwendet zwei Zufallszahlenfolgen um ein In- krement des Schätzwerts zu bilden, ohne die Funktion selbst zu differenzieren. In der Einheit zur Aktualisierung eines Schätzwerts wird der Schätzwert um das Inkrement erhöht.

Weiterhin sind aus [8] ein Verfahren sowie eine Vorrichtung zur Verbesserung der Genauigkeit eines in einem geschlossenen Regelkreis geregelten Systems bekannt, wobei mindestens zwei stochastische Störsignale beerücksichtigt werden.

Somit liegt der Erfindung das Problem zugrunde, ein Verfahren anzugeben, mit dem die im vorigen beschriebenen Nachteile vermieden werden.

Das Problem wird durch das Verfahren gemäß Patentanspruch 1 und durch die Vorrichtung gemäß Patentanspruch 12 gelöst.

Bei dem Verfahren gemäß Anspruch 1 wird ein technisches System, welches einer Störung unterliegt, mittels eines impliziten stochastischen Differentialgleichungssystems (SDE) be- schrieben. Eine näherungsweise Lösung des Systems wird ermittelt, indem ein diskreter Näherungsprozeß realisiert wird. Der diskrete Näherungsprozeß wird gemäß folgender Vorschrift realisiert:

- (c + hα₂G) • X_{Tn + 1} = {- (l - γ)c + h(l + γαi - CX₂)G} • X_Xn +

+{- γC + h(γ - αιγ)GJ • ^^ + +hα₂s(τ_{n +}ι) + h(l + γoti - α₂)s(τ_n) +

+h(γ - αιγ)s(τ_n_ι) + +ß(τ_n) • ΔW_n + γB(τ_n) • ΔW_n_ι wobei mit

— C eine erste Matrix, 14

— αi, α , Y vorgegebene Parameter aus dem Intervall [0, 1],

T

— h:= — , eine Schrittweite in einem Ausgangszeitintervall

[0, T] , wobei T ein vorgegebener Wert ist, welches in N Teilintervalle unterteilt ist, — G eine zweite Matrix,

— X_τ - eine Realisierung des Näherungsprozesses an einer

Stützstelle τ_n+l/

— X_τ eine Realisierung des Näherungsprozesses an einer

Stützstelle τ_n, — X_τ __. eine Realisierung des Näherungsprozesses an einer

Stützstelle τ_n-l>

— s(τ_n+ι) ein erster Wert an der Stützstelle τ_{n +}ι,

— s(τ_n) ein erster Wert an der Stützstelle τ_n,

— s(τ_n_ι) ein erster Wert an der Stützstelle τ_n_ι, — ein Differenzwert ΔW_n_ : = W_τ - W_τ »zwischen einem zweiten Wert W_T ^ln an der Stützstelle τ -_n ^l und dem zweiten Wert

W_τ _» an der Stützstelle τ_n- i

— B(τ_n) ein zweiter Wert an der Stützstelle τ_n , bezeichnet wird, und - bei dem durch iterative Lösung des Näherungsprozesses die Störung X_τ - ermittelt wird.

Die Vorrichtung gemäß Patentanspruch 12 weist eine Prozessoreinheit auf, die derart eingerichtet ist, daß ein techni- sches System, welches einer Störung unterliegt, mittels eines impliziten stochastischen Differentialgleichungssystems beschrieben werden. Eine näherungsweise Lösung des Systems wird ermittelt, indem ein diskreter Näherungsprozeß realisiert wird. Der diskrete Näherungsprozeß wird gemäß folgender Vor- schrift realisiert: 15

— (C + hα₂G) • X_{Xn + 1} = {- (l - γ)c + h(l + γ_αι - α₂)G} • X_Xn +

+{- γC + h(γ - αιγ)G} • *τ_n_₁ + +hα₂s(τ_{n +} ι) + h(l + γαi - α₂)s(τ_n) + +h(γ - αιγ)s(τ_n_ι) + +ß(τ_n) • Δw_n + γß(τ_n) • Δw_n__x wobei mit

— C eine erste Matrix,

— αi, α₂, γ vorgegebene Parameter aus dem Intervall [0, 1],

T — h:= — , eine Schrittweite in einem Ausgangszeitintervall N -

[0, T] , wobei T ein vorgegebener Wert ist, welches in N

Teilintervalle unterteilt ist,

— G eine zweite Matrix,

— X_τ - eine Realisierung des Näherungsprozesses an einer Stützstelle τ_n+ ,

— X_τ eine Realisierung des Näherungsprozesses an einer

Stützstelle τ_n ,

— X_τ __. eine Realisierung des Näherungsprozesses an einer

Stützstelle τ_n_l' — ^s(^τn+l) ein erster Wert an der Stützstelle ι_n + ι ,

— s(τ_n) ein erster Wert an der Stützstelle τ_n ,

— ^s(^τn-l) ein erster Wert an der Stützstelle τ_n_ι,

— ein Differenzwert ΔW_n_ι: = W_τ - W_τ - zwischen einem zweiten Wert W_τ an der Stützstelle τ_n und dem zweiten Wert ^Wt_n-1 ^{an der} Stützstelle τ_n_ι

— B(τ_n) ein zweiter Wert an der Stützstelle τ_n , bezeichnet wird. Durch iterative Lösung des Näherungsprozesses wird die Störung ^τ_n+ι ermittelt.

Die Erfindung verwendet direkt die implizite Struktur des technischen Systems, repräsentiert durch ein implizites Differentialgleichungssystem. Durch die Erfindung wird die Ermittlung der Störung erheblich beschleunigt, da die Dünnbe- setztheit der Matrizen C und G ausgenutzt werden kann. Die 16 numerisch instabile und aufwendige Transformation des Differentialgleichungssystems in die entkoppelte Form entfällt.

Durch die Erfindung ist es erstmals möglich, eine Störung auch bei einer singulären Matrix C zu ermitteln.

Vorteilhafte Weiterbildungen der Erfindung ergeben sich aus den abhängigen Ansprüchen.

Die Erfindung kann in verschiedensten Anwendungsgebieten eingesetzt werden, in denen ein technisches System gestört ist und durch ein System differential-algebraischer Gleichungen beschrieben werden kann.

Beispielsweise können Störungen (Rauschen) in einer elektrischen Schaltung ermittelt werden. Die Erfindung eignet sich ferner zur Anwendung in einem mechanischen Mehrkörpersystem oder in einem allgemeinen physikalischen System, einem chemischen System oder auch einem physikalisch-chemischen System, deren jeweilige Modellierung auf ein System differentialalgebraischer Gleichungen führt.

Ohne Einschränkung der Allgemeingültigkeit wird im weiteren die Erfindung anhand eines Ausführungsbeispiels einer Rausch- Simulation einer elektrischen Schaltung beschrieben, das in den Figuren dargestellt ist.

Es zeigen

Figur 1 ein Ablaufdiagramm, in dem die einzelnen Verfahrensschritte dargestellt sind;

Figur 2 eine Vorrichtung, mit der das Verfahren durchgeführt wird; Figur 3 eine Skizze einer elektrischen Schaltung eines Differentiators; Figur 4 eine Darstellung eines Simulationsergebnisses. 17

In Figur 2 ist in Form einer Blockskizze ein Rechner R dargestellt, mit dem das im weiteren beschriebene Verfahren durchgeführt wird. Der Rechner R weist eine Prozessoreinheit P auf, die derart eingerichtet ist, daß die im weiteren be- schriebenen Verfahrensschritte durchgeführt werden können. Die Prozessoreinheit P ist über einen Bus B mit einem Speicher SP verbunden. Der Rechner R ist über eine erste Schnittstelle I/O 1 mit einer Tastatur TA und über eine zweite Schnittstelle I/O 2 mit einer Maus MA verbunden, mit denen jeweils ein Benutzer des Rechners R Eingaben vornehmen kann. Ferner ist der Rechner R mit einem Bildschirm BS verbunden, auf dem dem Benutzer Ergebnisse des Verfahrens dargestellt werden.

In dem Speicher SP ist die zu analysierende Schaltung S

(vgl. Figur 3) in Form einer Schaltungsbeschreibungssprache gespeichert. Als Schaltungsbeschreibungssprache wird das Netzlistenformat von SPICE eingesetzt.

Ein Ersatzschaltbild der Schaltung S für dieses Ausführungsbeispiel ist in Figur 3 dargestellt. Die Schaltung S stellt in ihrer Funktionalität einen Differentiator dar. Eine unabhängige Spannungsquelle V(t) ist zwischen einem ersten Knoten N_]_ und einem Massepotential NQ angeordnet. Zwischen dem er- sten Knoten und einem zweiten Knoten N₂ ist eine Kapazität C_Q vorgesehen. Der zweite Knoten N ist über einen Widerstand R mit einem dritten Knoten N3 verbunden. Ferner ist zur Modellierung eines thermischen Rauschens in dem Widerstand R eine zu dem Widerstand R parallel geschaltete Rausch- Stromquelle RS mit der Stromstärke Δl_R vorgesehen. Ein erster Eingang El eines Operationsverstärkers OV ist mit dem zweiten Knoten N₂ verbunden, ein zweiter Eingang E2 des Operationsverstärkers OV mit dem Massepotential NQ . Ein Ausgang A des Operationsverstärkers OV ist mit dem dritten Knoten N3 verbunden. 18

Die Schaltung S wird in einem ersten Schritt 101 in Form des Netzlistenformats von SPICE in dem Speicher SP gespeichert (vgl. Figur 1) .

In einem zweiten Schritt 102 wird für die Schaltung S eine modifizierte Knotenanalyse durchgeführt. Das Ergebnis der modifizierten Knotenanalyse ist das der Schaltung S zugehörige Gleichungssystem.

In Matrixschreibweise ergibt sich für die Schaltung S das linear-implizite Differentialgleichungssystem des Indexes 1 mit rein additiver Störung

( ^■ λ ^ul f c₀ - c₀ 0 0 0

- c₀ c₀ 0 0 0 ^u2

0 0 0 0 0 +

^U3

0 0 0 0 0

. o 0 0 0 o , ~~Q

^amplV

0 0 0 1 0

1 1 ⁽ _Ul ^ 4kT

0 0 0 Δf ^f 0 R R u₂ 0

1 1 4kT

+ 0 0 - 1 ^U3 + + Δf v(t, ω) 0 R R R 0

0 A 1 0 0

V-'-ampl/ 0 v(t)J

1 0 0 0 0

Es werden mit

- u, u₂, U3 die Spannungen an den Knoten N_, N₂, N3 ,

- IQ der durch den ersten Knoten N]_ und durch die

Spannungsquelle V(t) fließende Strom,

- I_a pl der durch den dritten Knoten N3 und den

Operationsverstärker OV fließende Strom,

- R der Wert des Widerstand R,

- CQ der Wert der Kapazität CQ , 19

- A ein Verstärkungsfaktor des Operationsverstärkers OV, bezeichnet .

In dem Modell des thermischen Rauschens ist die Stromstärke Δl_R des Stroms, der durch die Rauschstromquelle RS fließt, durch die Gleichung

4kT

ΔI_R Δf • v(ω, t) 40;

R

angenommen.

Hierbei beschreibt v(ω, t) als weißes Rauschen den treibenden verallgemeinerten stochastischen Prozeß, also die Störung des technischen Systems. Die Größen k, T und Δf sind als Kon- stanten vorgegeben.

Allgemein ergibt sich also ein nichtentkoppeltes linearimplizites Differentialgleichungssystem mit rein additiver stochastischen Störung (Rauschen) der folgenden Form:

C • x(t) + G • x(t) + s(t) + ß(t) ^• v(ω, t) = 0. (4i:

Zur Herleitung des Verfahrens, nicht aber für das Verfahren selbst, wird angenommen , daß die Kapazitätsmatrix C inver- tierbar ist.

Durch Multiplikation der Gleichung (41) mit der inversen Ka- pazitätsmatrix C erhält man

x(t) = -C^_1 • {G • x(t) + s(t)} - C^_1 • B(t, x(t)) • v(ω, t) . (42)

Die Vorschrift (42) wird als stochastisches Differentialgleichungssystem der Form

dX_t = Xt₀ - C^{_1 •} {G ^• X_t + s}dt - C^{_1 •} B(t)dW_t (43) 20

interpretiert, wobei X^ eine Zufallsvariable mit Erwartungswert det(t_θ) bezeichnet.

Auf das Differentialgleichungssystem (37) wird folgendes Verfahren, das in [6] beschrieben ist, angewendet (Das Verfahren wird als implizites starkes Zweischrittverfahren der Ordnung 1 für ein stochastisches Differentialgleichungssystem bezeichnet) :

Ein numerisches Verfahren liefert für jede natürliche Zahl N Realisierungen eines diskreten Näherungsprozesses |x_s; s = XQ, ...,τ_n|, indem es für gegebene ω aus Ω an den jeweiligen Stützstellen τ Approximationen x(ω, τj_) für die Wer- te x(ω, τ berechnet.

Um einen stetigen Näherungsprozeß x_s; s e [0, T]| zu erhalten, interpoliert man die erhaltenen Werte z.B. stückweise linear. Die sich ergebenden Pfade können anschließend mit statisti- sehen Methoden analysiert werden.

In [6] ist folgende Familie von impliziten starken Zweischrittverfahren der Ordnung 1 zur Bestimmung der Komponente k der Realisierungen |x_τ . ; i = 0, ...,N> angegeben:

*n+l = (l ^" Yk)Xn + YkXΪ^

α2,k^fk(τ_n+l' Hi+l) ⁺ i^{1 + γ}k^αl,k ^α2,k + h , . y : 44 :

+ Yk(l - αi,k)f^k(τ_n-l^τ_n_ι)

+ v + Y_kV^_!

Hierbei steht eine Funktion ohne Argumente für eine Auswertung am Punkt lτ_n, X_τ ). Die reellen Parameter α _k, α₂, und γk sind aus dem Intervall [0, 1] gewählt. Ferner ist die Grö- ße V_n gegeben durch 21

m m = ∑g^k,jΔW^ + ∑ l lg^k'^j2l x (45)

. - . . \Jl'LI2}'^τΩ.'^τΩ. + l

3 ^{= 1} 31,32

wobei

Δ _n:= W_{Tn + 1} - W_Tn (46)

die Zuwächse des Wiener-Prozesses beschreibt und L eine abkürzende Schreibweise für den Operator

d . _d I?:= ∑^'^— j = l, ...,m (47) k=l &

ist.

Die Größe b beesscchhr:eibt das mehrfache Itδ- bl>32\ ^τn'^{' τ}n + l

Integral

^τn + 1 ^s2 dW^dW¹¹² ) hlr32\^ττifi ^:n + l^' I f J ^ si ≤2 :48

^n τ_n

h ist gegeben durch die Vorschrift

T h:= -. (49)

N

Wählt man für alle k = 1, ... , n die Parameter α ,k, α₂,k ^uni γk, so vereinfacht sich Vorschrift (44) für den Fall rein additiver Störung in Vektorschreibweise zu

*n + 1 = (^{X "} Y)*n + YXτ_n_!

+h{α₂f(τ_{n +} ι, Xτ_{n + 1}) + i¹ + Y^αl ^{" α}2)f + γ(l ^{" α}l)φn-l> ^Xτ_n_ι)} / +g ■ ΔW_n + γg • ΔW_n_ι 22

:5o;

da die Funktion g nur von der Zeit abhängt. Vorschrift (50: wird auf das Differentialgleichungssystem (43) angewendet.

Es ergibt sich somit:

X = (l - γ)χ + γx ^τn+l '' ^τn ' ^τn-l α₂C^_1(G ^• Xχ_{n + 1} + s(τ_{n + 1})) +

-h +(l + γαi - α₂)c^_1(G • X_tn + s(τ_n)) .5i: +(γ - αιγ)c^_1(G ^• X_τn_₁ + s(τ_n__j_))

-C-¹B(τ_n)ΔW_n - γC^_1B(τ_n)ΔVik-ι

Im nächsten Schritt wird (40) mit -C multipliziert.

Es ergibt sich somit:

- C {*τ_{n +} l ^" t^{1 "} )xτ_n - YX^χ _n_ι} = «2{G ^• Xχ_{n + 1} + s(τ_{n +} ι)} + (l + γαi - CX₂){G • X_Xn + s(τ_n)} P2] + (γ - αιγ){G • X_Xn_₁ + s(τ_n_ι)} +ß(τ_n) • Δw_n + γß(τ_n) • Δw_n_χ

Durch Zusammenfassen der Terme in X_τ - auf der rechten Seite von (41) ergibt sich: 23 - (c + hα₂G) • X_{Xn + 1} - {- (l - γ)c + h(l + γαi - CX₂)G} ^• X_Tn +

+{- γC + h(γ - α_ιγ)G} ^• ^τ_τχ _ ₁ + +hα₂s(τ_{n +} ι) + h(l + γαi - α₂)s(τ_n) + +h(γ - αιγ)s(τ_n _ !) + +ß(τ_n) • ΔW_n + γß(τ_n) • ΔW_n _ !

( 53 )

Für den Fall des Indexes 0 ist durch Vorschrift (53) eine Vorschrift angegeben, mit der die Störung des Systems ermittelt werden kann. Vorschrift (53) kann auch im Fall des Indexes 1 angewendet werden.

Durch iterative Lösung des Näherungsprozesses wird in einem weiteren Schritt 103 die Störung Xχ_n+1 ermittelt. Die Bestimmung der Störung τ_n+ι wird iterativ in einer Schleife für n = 0,1, ... , N - 1 durchgeführt, wodurch der Verlauf der Störung X_τ - zu den jeweiligen Zeitpunkten τ_π ermittelt wird.

Abhängig von der ermittelten Störung wird eine Schaltung S modifiziert, so daß die vorgebbaren Bedingungen z.B. hinsichtlich der Störanfälligkeit der Schaltung S erfüllt sind.

Die modifizierte Schaltung wird in einem letzten Schritt in Silizium gebrannt.

Figur 4 zeigt als Ergebnis des von dem Rechner R durchgeführten Verfahrens, das im weiteren als Programm angegeben ist. Es ist dargestellt ein numerisch simulierter Lösungspfad RLP des Spannungsverlaufs im dritten Knoten N3 unter Berücksichtigung des Rauschens. Ferner ist zum Vergleich der ideale Lösungspfad ILP, d.h. der Lösungspfad ohne Berücksichtigung des Rauschens angegeben. Außerdem ist der der Verlauf V der Ein- gangsgröße V(t) dargestellt. 24 Für das Verfahren wurden folgende Parameter verwendet:

2,5 • 10 -11 [s]

0 für 0 < t < 5 • 10 -9 [V]

2 ^• 10- t - 1 10^" für 5 • 10 -9 < t < 10 • 10^" v(t) = lO^-2 für 10 • 10 -9 < t < 15 • 10-9

-2 • 106^w • t + 4 • 10^" für 15 • 10 -9 < t; << 20 • 10^"

0 für 20 • 10^" < t < 25 • 10,-9

C₀ = 1 - 10 -12 [F] R = 1 • 10⁴ [Ω]

Δf = 1 [Hz :

Im weiteren sind einige Varianten bzw. Verallgemeinerungen des oben beschriebenen Ausführungsbeispiels dargestellt:

Die Kapazitätsmatrix kann ohne weiteres auch singulär sein. Somit ist es erstmals möglich, auch eine singuläre Kapazitätsmatrix zu berücksichtigen.

Ferner können auch weitere in [6] beschriebene Verfahren zur pfadweisen Approximation eines stochastischen Differentialgleichungssystems eingesetzt werden, um z.B. eine höhere Konvergenzordnung zu erreichen.

Die Erfindung ist keineswegs auf die Ermittlung thermischen Rauschens beschränkt. Im Gegenteil kann jedes Modell einer Störung im Rahmen der Erfindung berücksichtigt werden, welches durch weißes Rauschen beschrieben oder approximiert werden kann, z.B. das Schrotrauschen in Stromquellen. Bei Berücksichtigung des Schrotrauschens wird die Stromquelle modelliert durch eine parallel geschaltete, zufallsabhängige Stromquelle, deren Stromstärke ΔIQ der Vorschrift

ΔIQ = ^2eIciet^Δf ' ^v(^ω' t)

genügt < 25

Im weiteren ist eine Realisierung des Verfahrens zur Rauschsimulation in der Programmiersprache FORTRAN77 angegeben.

PROGRAM integr C

C Verfahren zur numerischen Loesung linear-impliziter

C Differentialgleichungssysteme mit rein additiver Störung.

C

IMPLICIT NONE INTRINSIC dble, real

EXTERNAL setall, gennor, dgesv, giveB, gives EXTERNAL a_smsm, m_mv, v_to_v, m_sv, a_vvvv REAL gennor C C Konstanten- und Variablendeklarationen und Initialisierung C

INTEGER n, , anz, i, j, info, initl, init2 C

C n ist die Dimension des Systems, m die Anzahl der C Rauschquellen

C anz ist die Anzahl der betrachteten Teilintervalle, C i und j sind Hilfsvariablen für Schleifen, C info fragt den Return-Code C initl und init2 sind die Samen fuer den C Pseudozufallszahlengenerator C

PARAMETER (n = 5, m = 1, anz = 1000) PARAMETER (initl = 23556, init2 = 4285979) C DOUBLE PRECISION lrand, rrand, h, tauakt, alpha C

C [lrand, rrand] bezeichnet das betrachtete Intervall C h die Schrittweite, tauakt den aktuellen Zeitpunkt, C alpha den Parameterwert alpha2 aus (53), wobei alphal = 0.0 C und gamma = 0.0 gesetzt wurde. C

PARAMETER (alpha = 0.9) 26

PARAMETER (lrand = O.OdO, rrand = 2.5d-8) C

DOUBLE PRECISION xakt (n) , d(n), salt (n) , sakt (n)

DOUBLE PRECISION C(n,n), G(n,n), B(n,m), A(n,n) DOUBLE PRECISION hl_n (n) , h2_n(n), h3_n(n), h4_n(n)

DOUBLE PRECISION hl_m(m), hl_nn(n, n) C

C xakt beschreibt den Wert des Lösungsprozesses am Zeitpunkt C tauakt, C C, B und G sind die Matrizen des Problems der Vorschrift C (3)

C A und d dienen zum Gleichungsaufbau C salt und sakt beschreiben s(taukt) bzw. s(takt - 1) C h*_* bezeichnen Hilfsvektoren und -matrizen C

C Konsistenten Anfangsvektor setzen xakt(l) = O.OdO xakt(2) = O.OdO xakt (3) = O.OdO xakt (4) = O.OdO xakt (5) = O.OdO C

C Definition der Matrix C (mit Kapazität = 1* 10^Λ{-12} C Farad) C(l,l) = 1.0d-12

C(2,l) = -1.0d-12

C(3,l) = O.OdO

C(4,l) = O.OdO

C(5,l) = O.OdO C(l, 2) = -1.0d-12

C(2,2) = 1.0d-12

C(3,2) = O.OdO

C(4,2) = O.OdO

C(5,2) = O.OdO

C(l, 3) = O.OdO

C(2,3) = O.OdO

C(3,3) = O.OdO 27

C(4 .3) =_ O.OdO

C(5,3) _= O.OdO

Cd, 4) = O.OdO

C(2,4) _= O.OdO

C(3,4) = O.OdO

C(4,4) = O.OdO

C(5,4) = O.OdO

Cd, 5) = O.OdO

C(2,5) = O.OdO

C(3,5) = O.OdO

C(4,5) = O.OdO

C(5,5) = O.OdO

C

C Definition der Matrix G (mit Rl = 10000, A = 300})

G(l,l) = O.OdO

G(2d) = O.OdO

G(3 ,1⁾ = O.OdO

G(4 ,1) = O.OdO

G(5 ,1) = l.OdO

G(l ,2) = O.OdO

G(2 , 2 ) = l.Od-4

G(3 , 2 ) = -1.0d-4

G(4 .2) _= 3.0d2

G(5 -2) = O.OdO

G(l -3) = O.OdO

G(2 3) = -1.0d-4

G(3 3) = 1.0d-4

G(4 3) = l.OdO

G(5 3) = O.OdO

G(l, 4) = l.OdO

G(2, 4) = O.OdO

G(3, 4) = O.OdO

G(4, 4) = O.OdO

G(5, 4) = O.OdO

6(1, 5) = O.OdO

G(2, 5) = O.OdO

G(3, 5) = -l.OdO 28

G ( 4 , 5 ) = O . OdO G ( 5 , 5 ) = O . OdO C

C Pseudozufallszahlengenerator initialisieren CALL setall (initl, init2) C

C Schrittweite berechnen C h = (rrand - lrand) / anz C

C Zeitpunkt und x-Wert initialisieren C tauakt = lrand C C Ausgabedatei öffnen

OPEN(9, FILE = OpmitlOOO', FORM = 'FORMATTED') C Anfangszeitpunkt und -wert in die Ausgabedatei schreiben

WRITE(9, 42) tauakt, (xakt(i), i = 1, n) C "alten" s-Wert merken CALL gives(salt, n, tauakt) C

C Äussere Schleife: Entspricht der Behandlung eines C Teilintervalls

DO 10, i = 1, anz C Aufbauen des Systems A*X=b C

C Aufbauen von A C A = -C -alpha * h * G

CALL a_smsm(C, G, -l.OdO, -alpha * h, A, n, n) C B aufbauen

CALL giveB(B, n, m, tauakt) C Zeitpunkt erhöhen tauakt = tauakt + h C sakt aufbauen — salt liegt vor Schleifeneintritt vor CALL gives(sakt, n, tauakt)

C "alten" s-Wert merken

CALL v to v(sakt, salt, n) 29

C d aufbauen

C

C hl_nn = -C + (1- alpha) * h * G

CALL a_smsm(C, G, -l.OdO, (1-alpha) * h, hl_nn, n, n) C hl_n = hll_nn * xakt

CALL m_mv(hl_nn, xakt, hl_n, n, n) C h2_n = alpha * h * sakt

CALL m_sv(sakt, alpha*h, h2_n, n) C h3_n = (1 - alpha) * h * salt CALL m_sv(salt, (1- alpha) * h, h3_n, n)

C hl_m = DeltaW

DO 20, j = 1, m hl_m(j) = DBLE (gennor (0.0, SQRT (REAL (h) ) ) ) 20 CONTINUE C h4_n = B * hl_m

CALL m_mv(B, hl_m, h4_n, n, m) C d = hl_n + h2_n + h3_n + h4_n

CALL a_vvvv(hl_n, h2_n, h3_n, h4_n, d, n) C Aufrufen des Gleichungsl'Osers (hl_n ist nur Dummy) CALL dgesv(n, 1, A, n, hl_n, d, n, info)

C Neuen Wert von xakt setzen

CALL v_to_v(d, xakt, n) C aktuellen Zeitpunkt und x-Wert in die Ausgabedatei schrei C ben WRITE(9, 42) tauakt, (xakt(j), j = 1, 3)

42 FORMAT(E16.6,E16.6,E16.6,E16.6,E16.6, E16.6) 10 CONTINUE C

C Ausgabedatei schliessen CLOSE(9, STATUS = 'keep') STOP END C

C

SUBROUTINE giveB(outB, n, m, tauakt) C 30

C Liefert in outB den Wert der (n x m) -Matrix B

C aus Vorschrift (3) zum Zeitpunkt tauakt

C

IMPLICIT NONE

INTRINSIC dsqrt C C Dummy Argumente

INTEGER n,m

DOUBLE PRECISION outB(n, m) , tauakt

C Lokale Variable

DOUBLE PRECISION k, T, deltaf C k bezeichnet die Boltzmann-Konstante, T die absolute C Temperatur, deltaf die Rauschbandbreite PARAMETER(k = 1.308d-23, T = 300, deltaf = l.OdO)

C Zeitunabhängige Definition der Matrix B aus Beispiel 3.4 C (mit Rl = 3000, R2 = 4000, R3 = 5000 Ohm C T = 300 K, k = 1.3807 * 10^Λ{-23} jK ^Λ{-1}, f = 10) C outB(l,l) = O.OdO outB(2,l) = dsqrt (4*k*T*deltaf/10000. OdO) outB.3,1) = -dsqrt (4*k*T*deltaf/10000. OdO) outß (4,1) = O.OdO outß(5, 1) = O.OdO RETURN

END

C SUBROUTINE gives (outs, n, tauakt) C

C Liefert in outs den Wert des (n) -Vektors s C aus Vorschrift (3) zum Zeitpunkt tauakt C C

IMPLICIT NONE INTRINSIC sin 31

C

C Dummy Argumente INTEGER n

DOUBLE PRECISION outs (n) , tauakt C

C Lokale Variable

INTEGER i C i beschreibt die aktuelle Zeilenposition von outs DO 10, i = l, n - 1 outs(i) = O.OdO

10 CONTINUE

IF (O.OdO .le. tauakt .and. tauakt .le. 5.0d-9) THEN outs(n) = O.OdO ELSE IF (5.0d-9 .lt. tauakt .and. tauakt .le. lO.Od-9; THEN outs(n) = -(2.0d6 * tauakt - 1.0d-2) ELSE IF (10.0d-9 .lt. tauakt .and. tauakt .le. 15.0d-9) THEN outs(n) = -(10.0d-3) ELSE IF (15.0d-9 .lt. tauakt .and. tauakt .le. 20.0d-9; THEN outs(n) = -(-2.0d6 * tauakt + 4.0d-2) ELSE IF (20.0d-9 .lt. tauakt .and. tauakt .le. 25.0d-9) THEN outs(n) = O.OdO

END IF RETURN END

32

Im Rahmen dieses Dokuments wurden folgende Veröffentlichungen zitiert:

[1] A. F. Schwarz, Computer-Aided design of microelectronic circuits and Systems, vol. 1, Academic Press, London, ISBN 0-12-632431-X, S. 185 - 188, 1987

[2] A. Demir et al, Time-domain non-Monte Carlo noise

Simulation for nonlinear dynamic circuits with arbitrary excitations, IEEE Transactions on Computer-Aided Design of Integrated Circuits and Systems, Vol. 15, No . 5, S. 493 - 505, May 1996

[3] B.J. Leimkuhler et al, Approximation methods for the consistent initialization of differential-algebraic Systems of equations, SIAM J. Numer. Anal., Vol. 28, S. 205 - 226, 1991

[4] L. 0. Chua und P. M. Lin, Computer aided design of electronic circuits, Prentice Hall, Englewood Cliffs, 1975, ISBN 0-13-165415-2, S. 596

[5] W. Nagel, SPICE2 - a Computer program to simulate semiconductor circuits, Tech. Report, UC Berkeley, Memo ERL-M 520, 1975

[6] P.E. Kloeden und E. Platen, Numerical solution of stochastic differential equations, Springer Verlag, Berlin, New York, ISBN 3-540-54062-8, S. 412, 1992

[7] US 5 646 869

[8] US 5 132 897

Claims

33 Patentansprüche

1. Verfahren zur Ermittlung einer Störung eines technischen Systems, welches einer Störung unterliegt, - bei dem das System mittels eines impliziten stochastischen Differentialgleichungssystems beschrieben wird,

— bei dem eine näherungsweise Lösung des Systems ermittelt wird, indem ein diskreter Näherungsprozeß realisiert wird,

— bei dem der diskrete Näherungsprozeß gemäß folgender Vor- schrift realisiert wird:

— (c + hα₂G) ^■ X_{n + 1} = {" (l " Y)c + h(l + γαi - α₂)GJ • X_Xn +

+{- γc + h(γ - αιγ)GJ ^■ X_Tn_₁ + +hα₂s(τ_{n + 1}) + h(l + γα_x - α₂)s(τ_n) + +h(γ - αιγ)s(τ_n_₁) + +ß(τ_n) • ΔW_n + γß(τ_n) • ΔW_n_ι wobei mit

— C eine erste Matrix, — αi, α2_. γ vorgegebene Parameter aus dem Intervall [0, 1],

T . . .

— h: = — , eine Schrittweite in einem Ausgangszeitintervall

N

[0, T] , wobei T ein vorgegebener Wert ist, welches in N Teilintervalle unterteilt ist,

— G eine zweite Matrix, — X_τ _. eine Realisierung des Näherungsprozesses an einer

Stützstelle x_n+l'

— X_τ eine Realisierung des Näherungsprozesses an einer

Stützstelle τ_n,

— X_τ _. eine Realisierung des Näherungsprozesses an einer Stützstelle x_n-l/

— s(τ_n+ ) ein erster Wert an der Stützstelle τ_n+χ,

— s(τ_n) ein erster Wert an der Stützstelle τ_n ,

— ^s(^τn-l) ein erster Wert an der Stützstelle τ_n_ , 34

— ein Differenzwert ΔW 1_n1_ιJ-:= W_τ__n - W_τ ^ln-l. zwischen einem zwei- ten Wert W_x an der Stützstelle τ_n und dem zweiten Wert W_τ _₁ an der Stützstelle τ_n_]_

— ^B(^τn) ^e^ⁿ zweiter Wert an der Stützstelle τ_n , bezeichnet wird, und

— bei dem durch iterative Lösung des Näherungsprozesses die Störung Xτ_n+1 ermittelt wird.

2. Verfahren nach Anspruch 1, bei dem die Störung Rauschen ist, dem das System unterliegt.

3. Verfahren nach Anspruch 1 oder 2, bei dem die Störung rein additiv ist.

4. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 3, bei dem die Störung pfadweise ermittelt wird.

5. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 4, bei dem ein stetiger Näherungsprozeß (x_s; s e [0, T]} ermittelt wird, indem die ermittelten Realisierungen des Näherungsprozesses interpoliert werden.

6. Verfahren nach Anspruch 4 und 5, bei dem die ermittelten Pfade mit einem statistischen Verfah- ren analysiert werden.

7. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 6, bei dem das System eine elektrische Schaltung ist.

8. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 6, bei dem das System ein mechanisches Mehrkörpersystem ist.

9. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 6, bei dem das System ein physikalisches System ist.

10. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 6, bei dem das System ein chemisches System ist. 35

11. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 6, bei dem das System ein physikalisch-chemisches System ist.

12. Vorrichtung zur Ermittlung einer Störung eines technischen Systems, welches einer Störung unterliegt, bei der eine Prozessoreinheit vorgesehen ist, die derart eingerichtet ist, daß

— das System mittels eines impliziten stochastischen Diffe- rentialgleichungssystems beschrieben wird,

— eine näherungsweise Lösung des Systems ermittelt wird, indem ein diskreter Näherungsprozeß realisiert wird,

— der diskrete Näherungsprozeß gemäß folgender Vorschrift realisiert wird:

— (c + hα₂G) ^• Xτ_{n +} ι = {- (^■- - Y)^C + ^h{~~ + Y^αl ^" <*2)G} ^• Xτ_n +

+{- γC + h(γ - αιγ)G} ^• Xχ_n _ ₁ + +hα₂s(τ_{n +} ι) + h(l + γαi - α₂)s(τ_n) + +h(γ - α₁γ)s(τ_n_ ₁) + +ß(τ_n) • ΔW_n + γß(τ_n) • Δw_n_ ι wobei mit

— C eine erste Matrix,

— αi, α₂, γ vorgegebene Parameter aus dem Intervall [0, lj,

T . . . — h:= — , eine Schrittweite in einem Ausgangszeitintervall N

[0, T] , wobei T ein vorgegebener Wert ist, welches in N

Teilintervalle unterteilt ist,

— G eine zweite Matrix,

— X_τ - eine Realisierung des Näherungsprozesses an einer Stützstelle τ_n+ι,

— X_τ eine Realisierung des Näherungsprozesses an einer

Stützstelle τ_n,

— X_τ _- eine Realisierung des Näherungsprozesses an einer

Stützstelle τ_n-l' — ^s(^τn+l) ein erster Wert an der Stützstelle τ_n+ι. 36

— s(τ_n) ein erster Wert an der Stützstelle τ_n ,

— s(τ_n_ι) ein erster Wert an der Stützstelle τ_n-l'

— ein Differenzwert ΔW_nιι_ιJ-: = W_τ__n - W_T ^cn — _Λ1 zwischen einem zwei- ten Wert W_x an der Stützstelle τ_n und dem zweiten Wert W_τ _. an der Stützstelle τ_n_ι

— ß(τ_n) ^e^ⁿ zweiter Wert an der Stützstelle τ_n , bezeichnet wird, und

— bei dem durch iterative Lösung des Näherungsprozesses die Störung X_τ _. ermittelt wird.

13. Vorrichtung nach Anspruch 12, bei der die Störung Rauschen ist, dem das System unterliegt.

14. Vorrichtung nach Anspruch 12 oder 13, bei der die Störung rein additiv ist.

15. Vorrichtung nach einem der Ansprüche 12 bis 14, bei der die Prozessoreinheit derart eingerichtet ist, daß die Störung pfadweise ermittelt wird.

16. Vorrichtung nach einem der Ansprüche 12 bis 15, bei der die Prozessoreinheit derart eingerichtet ist, daß ein stetiger Näherungsprozeß |x_s; s e [0, T]J ermittelt wird, indem die ermittelten Realisierungen des Näherungsprozesses inter- poliert werden.

17. Vorrichtung nach Anspruch 15 und 16, bei der die Prozessoreinheit derart eingerichtet ist, daß die ermittelten Pfade mit einem statistischen Verfahren analy- siert werden.

18. Vorrichtung nach einem der Ansprüche 12 bis 17, bei dem das System eine elektrische Schaltung ist.

19. Vorrichtung nach einem der Ansprüche 12 bis 17, bei dem das System ein mechanisches Mehrkörpersystem ist. 37

20. Vorrichtung nach einem der Ansprüche 12 bis 17, bei dem das System ein physikalisches System ist.

21. Vorrichtung nach einem der Ansprüche 12 bis 17, bei dem das System ein chemisches System ist.

22. Vorrichtung nach einem der Ansprüche 12 bis 17, bei dem das System ein physikalisch-chemisches System ist