WO2003001457A1

WO2003001457A1 - Processeur d'informations

Info

Publication number: WO2003001457A1
Application number: PCT/JP2002/006157
Authority: WO
Inventors: Yasuhisa Tanioka; Junya Tsutsumi; Kazuo Kawabata; Kazutoshi Oda
Original assignee: Hi Corporation
Priority date: 2001-06-21
Filing date: 2002-06-20
Publication date: 2003-01-03
Also published as: US6970178B2; KR20030043935A; EP1406214A1; EP1406213A1; TWI257795B; CN1465036A; IL154451A; US20030184543A1; IL154450A; CN1465035A; EP1406213A4; JPWO2003001457A1; EP1406214A4; KR100924250B1; US20030185460A1; IL154451A0; IL154450A0; WO2003001458A1; JP4046233B2; US7030880B2

Description

明細書情報処理装置技術分野

本発明は 3次元画像の描画の技術に関し、特に 3次元画像の描画の処理時に行われるジオメトリ演算や除算の処理を軽減し、 F PU (浮動小数点演算ユニット）を持たない情報処理装置や、 C PUの処理能力が低い情報処理装置であっても 3次元グラフィクの描画を可能とする技術に関する。背景技術

3次元グラフイクを描画する場合、情報処理端末は、

( 1 ) 3次元の物体をずらしたりする座標変換演算（Trans format ion)、 ( 2 )物体に光源（例えば太陽など）から光が当たっていると考えて、日向になっている部分と日陰になっている部分とを計算する光源計算処理 (Lighting)

( 3 ) 物体をドットと呼ばれるカラムに分割する処理（ラスタライズ）

(4) そのカラムにテクスチャ一 (模様) を張り込んでいく（テクスチヤ一マッピング)

等の処理を行う。

通常、情報処理装置本体の C P Uは、（ 1 ) と（2) とのいわゆるジオメトリ演算という作業を担当し、 C P Uの F PU (浮動小数点演算ユニット）を利用して処理している。

更に、（3) と（4) とのいわゆるラスタライズの処理は、通常、 3 Dグラフィックスァクセラレ一夕が行っている。しかしながら、（ 1 ) と（2) とのいわゆるジオメトリ演算という作業は C PUの F PU (浮動小数点演算ユニット）を利用して行なわれていが、 F PUはジオメトリ演算だけでなく、浮動小数点一般を計算するために設計されているほか、 C P Uは他の処理も行ったりしており、必ずしも 3次元のグラフイクを描画する処理に適したものではない。

そこで、そのジオメトリ演算をグラフィックスチップで行えるように設計した（つまりジオメトリエンジンを内蔵） 3 Dグラフィックスァクセラレ一タも登場しており、 C P Uの負荷率を下げる工夫がされているほか、何よりもジオメトリ演算の性能を C P Uで行う場合に比ベて大幅に向上させることが可能、つまり 3 Dの描画性能を向上させることを可能としている。

しかしながら、 3 Dグラフィックスァクセラレータは高価なのものであり、全ての情報処理装置が備えている訳ではない。

更に、情報処理装置の中には、例えば携帯電話や、 PDA (Personal Digital (Data) Assistants) のように 3 Dグラフィックスァクセラレ —タどころか、 F PU (浮動小数点演算ユニット）も備えていないものもある。

このような情報処理装置では、一般に C P Uの能力も低く、 3 Dグラフィックスは無理とされていた。

更に、除算処理は乗算処理に比べてたいへん低速であり、高速に演算処理を行う為には、除算をなるベく減らすことが好ましい。

そこで、本発明は、 3次元グラフイクの描画の処理時に行われるジオメトリ演算において、整数演算処理を行うことによって、 F P U (浮動小数点演算ユニット）を持たない情報処理装置であっても 3次元グラフィクの描画を可能とする技術を提供することを目的としている。また、本発明は、ラスタライズ処理の際、除算を行わずラスタライズ処理を行うことによって、処理能力が低い C P Uを持つ情報処理装置であっても、 3次元グラフィクの描画を高速に可能とする技術を提供することを目的としている。発明の開示

上記目的を達成する第 1の発明は、座標値が整数に限定され、座標 (x, 'を、

で表現されるァフィン変換により、座標 ' ,ζ' に変換処理を行う 3次元画像の描画を行う情報処理装置であって、

ァフィン変換の行列

'^αιι 12 "₁₃ヽ

Α = ひ 22

31 ^α32 ^a33 j

に λ (≠ 0 ) をかけた行列

A-

と、行列 "い t₂， t₃)'と、形状データとが格納されたメモリと、

前記形状データの座標， Wを、行列及び行列 "いとのァフィン変換により、座標 ' ，ダ ' ， ' 'に変換する際、前記メモリより、行列 ' と、行列（^，とを読み出し、 '= (α'₁₁*χ + a'₁₂*y + a'₁₃*z)/ L + ；

y = («'₂₁* + e'₂₂*y + β'₂₃*ζ)/Λ +t₂;

^Z ' = (^β 31 * ^{+ β} 32 *^ ^{+ β} 33 * ) / ^ ⁺ 3;

を演算して、座標 ' , _Y， , Ζ ' 尸を演算する演算手段と

を有することを特徴とする。

上記目的を達成する第 2の発明は、上記第 1の発明において、前記 λを 2"(wfcl)に限定し、

前記演算手段は、

ダ = (α₂₁*χ + a ₂*y + β'₂₃*ζ)/Λ +ί₂;

ζ'= ( '₃₁*ズ + fl'₃₂*y + "'₃₃*ζ)/ス +ί₃;

の除算演算を、 η桁右シフ卜することにより演算する手段であることを特徴とする。

上記目的を達成する第 3の発明は、上記第 2の発明において、前記演算手段は、各被除数に定数を加えた後、 η桁右シフトすることにより演算する手段であることを特徴とする。

上記目的を達成する第 4の発明は、上記第 1、 2、 3の発明において、予め I (Φ 0 ) をかけた二つ以上のパラメータを合成する合成手段を有することを特徴とする。

上記目的を達成する第 2の発明は、上記第 1、 2、 3， 4の発明に λ

おいて、 ― (λは 2"("≥1)) で表せられる定数が、 y座標 yi一 Λ

の変化量をィンデックスとして格納されたメモリと、

y座標に対する座標の変化量、 ^2 i

x = 一

を演算する際、

前記ダ座標の変化量に対応するを前記メモリより読み出して乗算により、 ζχ ' = μ * (ぶつ一 _χ)；を演算し、

算出された l ' を、 n桁右シフトすることにより、 l を演算する演算手段と

を更に有することを特徴とする。

上記目的を達成する第 6の発明は、座標値が整数に限定され、座標 (x, J, を、

で表現されるァフィン変換により、座標' ' ,γ' , ζ' に変換処理を行う 3次元画像の描画処理方法であって、

形状データの座標 (χ, Wを、行列 A及び行列 "い t₃)'との了フイン変換により、座標 ' ，; F' , Ζ ' 'に変換する際、メモリに記憶されている、行列に (≠ 0 ) をかけたパラメータ

と、行列（ 'とを読み出すステップと、

前記読み出した行列 ' と、行列^ 'とに基づいて、

ぶ'= (α *χ + + t ,

Ϋ = ("'2ΐ*ぶ +

+ 1₂;

z'= [a'₃₁*x + a'₃₂^y + a ₃^z)l λ +t₃;

を演算して、座標 ' ， _y' , ' を演算するステップと

を有することを特徴とする。

上記目的を達成する第 7の発明は、上記第 6の発明において、前記 λを 2^Π(«¾1)に限定し、

前記演算するステップは、

の除算演算を、 η桁右シフトすることにより、座標 ' ，y' ' 'を演算するステツプであることを特徴とする。

上記目的を達成する第 8の発明は、上記第 7の発明において、前記 n桁右シフトする前に、各被除数に定数 /^を加算するステップを更に有することを特徴とする。

上記目的を達成する第 9の発明は、上記第 6 7、 8の発明において、予め λ (≠ 0 ) をかけた二つ以上のパラメタを合成するステツプを更に有することを特徴とする。

上記目的を達成する第 9の発明は、上記第 6 7、 8、 9の発明おいて、 y座標に対する座標の変化量、 2 """ 1

=

y₂-yi を演算する際、

λ

(λは 2"(«¾1)) で表せられる定数が、 7座標の変化量

に対応して記憶されているメモリから、前記演算する y座標の変化: に対応する定数を読み出すステップと、

前記読み出した定数に基づいて、

を演算するステップと、

算出された 4 ' を、 η桁右シフトすることにより、 4 を演算するステップと

を更に有することを特徴とする。

上記目的を達成する第 1 1の発明は、座標値が整数に限定され、座標， y を、

で表現されるァフィン変換により、座標 O， ,γ' , ζ' に変換処理を、情報処理装置に行わせるプログラムであって、

形状データの座標，: 'を、行列及び行列 (tい t₂, t₃ との了フイン変換により、座標 ' ，: F' ' に変換する際、メモリに記憶されている、行列に λ ( 0 ) をかけたパラメータ 4' 12 a '₁₃) ' λ a_n / α₁₂ Α ₁₃ヽ

"，21 な 22 a 23 -λ λα₂₂ ^{λ α}23

α、

、。'31 32 a 33 j 、Αβ₃₁ Λ Λ₃₂ と、行列 (tい t₂, / 'とを読み出すステップと、

前記読み出した行列 ' と、行列（とに基づいて、

'= +t ,

ダ-

+ 1₂;

ζ - «β'₃₁* + β'₃₂*7 + α'₃₃*ζ)/ λ +t₃;

を演算して、座標 ' ， , ' ^を演算するステップと

を有することを特徴とするプログラムである。

上記目的を達成する第 1 2の発明は、上記第 1 1の発明において、前記プログラムは、

前記 λを 2" («≥1)に限定されている場合において、

前記演算するステップは、情報処理装置に、

y' = ( '21* + "'22 * + "'23*^Ζ) I ^{λ + ί}2,'

の除算演算を、 n桁おシフトすることにより、座標 ' ，，ζ' ^を演算させるステップであることを特徴とするプログラムである。

上記目的を達成する第 1 3の発明は、上記第 1 2の発明において、情報処理装置に、前記 η桁右シフトする前に、各被除数に定数 / を加算させるステップを更に有することを特徴とするプログラムである, 上記目的を達成する第 1 4の発明は、上記第 1 1、 1 2、 1 3の発明において、情報処理装置に、予め λ (≠ 0 ) をかけた二つ以上のパラメ一夕を合成させるステップを更に有することを特徴とする。

上記目的を達成する第 1 5の発明は、上記第 1 1、 1 2、 1 3、 1 4の発明において、情報処理装置に、

y座標に対する座標の変化量、 Ax =

を演算する際、

λ

^ =~ ~~― (λは 2"(«≥1)) で表せられる定数^が、 y座標の変化量

2 -^l

に対応して記憶されているメモリから、前記演算する 7座標の変化量に対応する定数^を読み出させるステップと、

前記読み出した定数に基づいて、

を演算させるステツプと、

算出された ' を、 n桁右シフトすることにより、を演算させるステップと

を更に有することを特徴とするプログラムである。

上記目的を達成する第 1 6の発明は、座標値が整数に限定され、座標， Wを、

で表現されるァフィン変換により、座標 ' , γ' , ζ ' に変換処理を、情報処理装置に行わせるプログラムが格納された記録媒体であって、前記プログラムは、

形状データの座標， Wを、行列及び行列とのァフイン変換により、座標 '， , ' に変換する際、メモリに記憶されている、行列に λ (≠ 0 ) をかけたパラメ一夕 " 13、

Α

と、行列 ί / 'とを読み出すステップと、

前記読み出した行列 ' と、行列（ / 'とに基づいて、

X¹ = ( *x + a ₂ * + α ₃ *ζ)/λ +t_x;

ダ = (β'₂₁ * +

' = (β'₃₁ *x + a ₂ * + β'₃₃ *z)/ A +t₃;

を演算して、座標 ' ，；^ , ' を演算するステップと

を有することを特徴とするプログラムが格納された記録媒体である。上記目的を達成する第 1 7の発明は、上記第 1 6の発明において、前記プログラムは、

前記 λを 2" に限定されている場合において、

前記演算するステップは、情報処理装置に、

z'= (α' *χ + a'₃₂* + αΌ₃*ζ)/λ + ;

の除算演算を、 η桁右シフトすることにより、座標 ' ， ' を演算させるステップであることを特徴とするプログラムが格納された記録媒体である。

上記目的を達成する第 1 8の発明は、上記第 1 7の発明において、前記プログラムは、情報処理装置に、前記 n桁右シフトする前に、各被除数に定数 / を加算させるステップを更に有することを特徴とするプログラムが格納された記録媒体である。

上記目的を達成する第 1 9の発明は、上記第 1 6、 1 7、 1 8の発明において、前記プログラムは、情報処理装置に、予め λ (≠ 0 ) をかけた二つ以上のパラメ一夕を合成させるステップを更に有することを特徴とするプログラムが格納された記録媒体である。

上記目的を達成する第 2 0の発明は、上記第 1 6、 1 7、 1 8、 1 9の発明において、前記プログラムは、情報処理装置に、

y座標に対する座標の変化量、

^^ «Λ*ι

Δχ =

を演算する際、

λ

^ ⁼ ~ 7 ( λは 2" («≥1) ) で表せられる定数 ^が、 y座標の変化量

2 - 1

に対応して記憶されているメモリから、前記演算する y座標の変化量に対応する定数 ^を読み出させるステツフ。と、

前記読み出した定数//に基づいて、

Δχ' = μ * (χ₂一；を演算させるステップと、

算出された ' を、 n桁右シフトすることにより、 Z1 を演算させるステップと

を更に有することを特徴とするプログラムが格納された記録媒体である。図面の簡単な説明

図 1は携帯端末のプロック図であり、図 2は 3次元グラフィクの基本的な描画動作を示すフローチヤ一トであり、図 3はモデルオブジェク卜を描画のステツプである S t e p 1 0 6の動作を更に詳細に示すフローチヤ一卜である。発明を実施するための最良の形態

本発明の実施するための最良の形態を説明する。

まず、本発明の特徴である情報処理装置を用いた整数によるジオメトリ演算と、除算を使用しない三角形ラスタライズとについて説明する。

<整数によるジオメトリ演算 >

1. ァフィン変換による座標変換

座標 ,: Wから座標 (x，，y，，ζ ' ) 'への了ワイン変換を、

' α_1χ ΐ2 13、 31 331

\^ζ )

の形で表すとき、 C言語的な数値演算で、 ' , γ' , ζ ' を求める場合、 x'= a_u *χ + α₁₂ *ν + α_Γ *z + t^;

y'=a₂₁ * + ₂₂ *y+a₂₃ *z+t₂;

z'= a₃₁ *x + a₃₂ *y + ₃₃ *z + t₃; のようになる。但し、全ての数値型が無限の範囲と精度とをもっているものとする。

有限範囲の整数で座標計算する場合、計算精度と演算のオーバーフ口一とが問題となる。オーバーフローに関しては、扱う座標の範囲を制限すれば、問題とならないが、計算精度は絶対値の小さい実数を整数に丸めるときに（小数を含む数値などで、必要とする右端の位（または桁）より一つ下の位（または桁）の値を四捨五入等して、数値を短縮すること。四捨五入以外にも切り上げや切り捨てなどの場合もありうる。）、相対誤差が大きくなる。特に、行列の成分は絶対値が 1以下の場合が非常に多く、その数値を整数に丸めた場合は期待する結果から大きくずれてしまう。

そこで、行列の成分を整数に丸めるとき、相対誤差をなるベく少なくするために、予め λ (≠ 0 ) を行列の成分に掛けておく。

«'l2 a ) ^f λ a ^{λ α}ΐ2 ス "13、

« 21 " 22 a 23 Λ λ β₂3 3

3₁ β 32 a 33 ) d ^ノ

λ 32 A

の行列 ' で座標変換するときに

のように計算する。

C言語的な数値演算で、 A'' ，y' , を求める場合、

y^,= (fl^, ₂₁*x + a^, ₂₂* + fl'₂₃*z)/A +ί₂;

のようになる。但し、すべての数値型は整数である。

このような計算でも、整数計算となり、浮動小数点演算を行う必要はないが、高速化のために実行時の整数除算を避けるためを 2"(«≥1) に限定し、ス ' =log₂Aとして、

x'= ((a'_n* + a ₂ * + α'₁ *ζ) )) A ') + t_x;

ヌ (0'₂₁*x + fl'₂₂*:v + fl'₂₃*z) )) λ ') + ₂;

のように算術右シフトで除算とほぼ同じ演算を行う。

また、算術右シフトを整数除算として利用する場合、丸めは -∞方向になるので、

χ'= ((α'_η*χ + a ₇*y + α '₁₃ *z + )) A ') + ί_χ;

y^,= (0'₂₁*x + "'₂₂*y + β'₂₃*ζ + ) » λ ') + —;

2：'= ((fl^, ₃₁* + fl^,3₂*y + a^, ₃₃*z + ¾) )) λ ') + ί₃;

のように算術右シフトを行う前に定数を加えて誤差を修正する。具体的な例で説明すると、例えば、座標（111，222， 333)¹の点をァフィン変換する場合を考える。

上記の式 2の行列及び' t(t„ t₂， / 'を、

( 0.8901408311 -0.3213994875 0.32300913 \

A 0.3857072937 0.9088972746 - 0.1585421959

一 0.2426503336 0.2657218728 0.9330127019 ) 856\

387

973 とすると、

実数で計算した場合の式 2の結果は. 0.8901408311 -0.3213994875

0.3857072937 0.9088972746

-0.2426503336 0.2657218728

/991.0256314\

578.0256314

、1315.749298ノ

となる。

ここで、上述した如く、本発明のァフィン変換を用いると、 λ =4096 (2'²)とした場合、行列は、

{3646 -1316 1323 \

A 1580 3723 -649

-994 1088 3822 となる。

この行列 ^!' と、行列 t(tい t₂, 尸とを使ったァフィン変換を、 C言語の式で表すと、

int X, y, z；

x= ((3646* 111+-1316*222+1323*333+4096/2) »12) +856

y=( (1580* 111+ 3723*222+- 649*333+4096/2)〉〉12) +387

z=((- 994*111+ 1088*222+3822*333+4096/2) >>12) +973;

となる。

この計算結果は、（991, 579, 1316)¹となり、上記の実数の演算結果とほぼ同じ結果となる。

情報処理装置の実際処理では、行列に λを乗算した行列 ' と、行列 t(t,， t₂, t₃)' ヒ ifi、情報処理装置のメモリにパラメ一タとして格納されており、ァフィン変換による座標変換をする際に、該当する行列に対応する行列と、行列 t(tい，とをメモリから読み出し、読み出した行列 ' 基づいて、各要素毎に演算が行われる。そして、その結果に定数 / を加えたものを、定数 ' 回右シフトを行い、その結果に行列 / / , を加えて、座標を算出する。

2. ァフィン変換の合成

2つのァフィン変換 / ,g (変換パラメータ）をそれぞれ. f(p) = Ap+u · ·5

g(p) = Bp + v ·'·6 とする。この二つの変換の合成 go/は. g。 f(p) = BAp + Bu+v 7 である。 A， - ん B' = Bのとき、

である。

=上 +ν

λ ·'·10 とすると、式 8は、

となる。

この式 1 1の右辺と式 4の右辺は同じ形である, 12 Ή、

21 22 23 , U = 12

31 32 "33ノ ³> b12 わ ₁₃) ίνΛ

B= κ わ 22 , v = ^V2 13

、わ 31 & 33ノ、ノ mX2 ₁₃ヽ

M = t₂ 14

、 31 m₃₂ ³/

として、 C言語的な数値演算でと /との成分を求める場合、 for ( =l; ；く =3; /++ ) { for ( ゾ =1; ゾく =3; ゾ ++ )

m_u=(b * a_u + b_i2* a_2j+ b_}3* a_3j +λ / 2) I λ；

= (b_n* u, ί b_i2* u₂i b_i3* u₃ ) / A v_s ； } となる。を 2"(«≥1)に限定し、 ' =/ として全ての整数型を整数で計算するようにすると、 for ( /=1 i <=3； ++ ) { for ( /=1； /<=3； /++ )

a,j + b_i2* a_2ji b_i3* a_3j +λ / 2) >> ，；

t_i = ((b_n^ u, + b_i2≠ u₂† b_i3* u₃ +Λ / 2) »Λ ' )iv_i ; ' } となる。

この方法により、事前に / ίを掛けたァフィン変換同士の合成ができる

具体的な例で説明すると、例えば、

( 0.8805527696 - 0.4083871864 0.2413463 \

A 0.3599626335 0.9063791978 0.2211417016

、 - 0.308307837 - 0.1081510783 0.9451188401

( 0.7764762277 0.6197856324 0.1137999896 \

B - 0.527293037 0.7379376463 - 0.4212007637 - 0.3450314781 0.267046438 0.8997996883 123、

231

、312,

/345\

543

、435, とし、 λ =4096とすると、 f 3570.657414 951.7067091 1766.883123 \ λ ΒΑ - 281.8861842 3808.232933 -1481.593097 -1986.998191 1169.971053 3385.294954

/619.1826538\

Bu + v 517.1919145

734.9863581 となる。

と ^との要素を最近整数値に丸めた行列は.

( 3607 -1673 985 \

1474 3713 906

-1263 - 443 3871/

である。

従って、上述した数式により、行列と行列 tとを求めると

/619、

517

735 となる。

このように上記の如く計算した

( 3570.657414 951.7067091 1766.883123、

λ ΒΑ - 281.8861842 3808.232933 -1481.593097

-1986.998191 1169.971053 3385.294954

/ 619.1826538、

Bu + v 517.1919145

734.9863581

I

と、ほぼ同様な値を得ることができる

<除算を使用しない≡角形ラスタライズ>

直線上の A'座標の変化量を求める場合、 2次元平面上の点 Λの座標を（点ァの座標を（，）とする。 ≠ のとき、 ^ととをとおる直線の y座標に対する座標の変化量は、

である。

とし、 Δχ'を C言語的な数値演算で求める場合、

Δ¾:'= *( ₂ -x₁)/(y₂ -y^; のようになる。

. λ

そして、 ^ としたときは

Δ¾:'= μ *(x₂ - ；のように乗算の形式になる。

整数のみで計算する場合、 I Iが十分に大きく I - iがある程度小さければ、丸めによる相対誤差が小さくなる。

そこで、を定数にして、 y座標の範囲を制限すれば、は予め用意された少ない配列から得ることができる。すなわち、〃を | - Iに対応させて、情報処理装置のメモリに予め格納しておく。そして、 I - Iをインデックスとして、〃を読み出して、

Δ '= * -χ₁)；を計算すれば、乗算だけでほぼと同じ値の ' を求めることがでさる。

また、 ^を 2ⁿ(«sl)に制限すれば、算術右シフトによって、を算出することができる。よって、除算を一切使わずに座標の変化量が求まる。

また、テクスチャー座標も同じ理由により、除算は必要ない。

具体的な例として、 λ =65536 として、座標（10, 20)の始点と座標 (85, 120) の始点 Ρ₂との線分の例を説明する。

この線分の y座標に対する X座標の変化量は、

. 85-10 一

&x = = 0.75

120-20

となり、 /1 ' = =49152.0 となる。

x' を整数のみで除算を使用しないで計算する場合、上述したように 120-20=100をィンデックスとして、対応する〃をメモリから読み出してくる。

この場合、 a = « 655

120-20

とすると、

となり、除算を使用した l ' = =49152.0 とほぼ同じ値を得ることができる。

次に、上述の方法を携帯端末等に用いた場合について説明する。図 1は携帯端末のプロック図である。

図 1中、 1は 3次元グラフィクを表示するディスプレイであり、 2 は F P U (浮動小数点演算ユニット）を持たない C P U等で構成された演算手段である制御部、 3はプログラムゃデ一夕が格納されたメモリ部である。

尚、メモリ部 3には、変換パラメータ（上述した行列 4' と、行列 t(t„ t₂, t₃)') が格納された変換パラメ一タテ一プル 4と、上述した I j^ をィンデックスとして〃が格納された逆数テーブル 5 とが格納されている。

以下の本説明の 3次元グラフィクの描画では、物体をすベて多角形の平面の組み合わせで表現する。そして、その多角形のことをポリゴンと呼ぶ。 3次元空間にある物体（ポリゴン）は、 Y, /の 3つの座標値を持っており、この座標を動かすことで、物体の位置や向きを変更することができる。さらに、 3次元座標で表現されるものを、最終的に 2次元のスクリーンに表示させる為、スクリーン座標系への変換が行われる。

このような、一連の座標変換、透視変換、光源計算などの処理（演算）は、ジオメトリ演算と呼ばれる。そして、計算によって変換されたポリゴンは、最終的にフレ一ムバッファに書き込まれ、描画が行われる。

通常、ジオメトリ演算という処理は C P Uの F P U (浮動小数点演算ユニット）を利用して行なわれていが、 F P Uはジオメトリ演算だけでなく、浮動小数点一般を計算するために設計されている。更に、携帯電話に代表される携帯端末の機器では、高価になるという理由で、 F P U (浮動小数点演算ユニット）を持たないものも多い。

そこで、携帯端末のような F P U (浮動小数点演算ユニット）を持たない C P Uの情報処理装置でも、ジオメトリ演算を可能とする為、本発明では制御部 3が整数によるジオメトリ演算を行う。

また、物体をドットに分割するラスタライズについても、 3 Dグラフィックスァクセラレータのない携帯端末では、処理負荷が増大する。そこで、本発明では、処理負荷を軽減する為に、制御部 3が除算を使用しないで三角形をラスタライズする。

次に、制御部 3が行う、上述した演算を用いた 3次元グラフイクの描画動作を説明する。

図 2は 3次元グラフィクの基本的な描画動作を示すフローチヤ一トである。

まず、描画先の仮想フレームバッファの情報を設定する（S t e p 1 0 0 )

次に、モデルオブジェクトに、メモリ部 3から幾何学的座標データである形状データを読み込む（S t e p 1 0 1 ) 。

ここで読み込まれる形状データは、頂点座標列、ポリゴン列及びセグメント列の情報が含まれる。また、セグメントのデータには、基本姿勢用の変換パラメ一夕、所属頂点群及び親セグメントの I D (識別情報）を含む。

尚、読み出される変換パラメータは、基本の行列 A に（2"(«≥1)) を乗算した行列 ' と行列 t (tい "， t₃)' とであり、行列 ' と行列とは、変換パラメータテーブル 4から読み出される。続いて、形状データに対応するテクスチャーデータ、例えば質感等のデータを読み込む（S t e p 1 0 2) 。

そして、モデル座標系から視点座標系への変換パラメータを設定し ( S t e p 1 0 3 ) 、視点座標系からスクリーン座標系への変換パラメ一タを設定する（S t e p 1 0 4) 。 ' 仮想フレームバッファに 2次元の背景を描画する（ S t e p 1 0 5 ) 。

仮想フレームバッファにモデルオブジェクトを描画する（S t e p 1 0 6 ) 。

最後に、仮想フレームバッファの内容を実際の画面に表示する（S t e p 1 0 7 ) 。

そして、 S t e p 1 0 3から S t e p 1 0 7を繰り返すことによって 3次元グラフイクが描画されることになる。

続いて、本発明の特徴である演算が用いられるモデルオブジェクトを制御部 3が描画する S t e 1 0 6について、更に詳細に説明する。

図 3はモデルオブジェクトを描画のステップである S t e p 1 0 6の動作を更に詳細に示すフローチヤ一トである。

まず、モデルの頂点座標を口一カル座標系からスクリーン座標系に変換する（S t e p 2 0 0 ) 。

ここで、モデルの構造について説明する。通常、モデルは内部に複数のセグメントを持ち，各セグメントは複数の頂点を持っている。それらの頂点はセグメント座標系での座標値を持っている。セグメントは複数の子セグメントを持つことができ，セグメントに含まれる頂点の座標を親セグメント座標系に変換するための変換パラメータを持つ _t 最上位のセグメントが持つ変換パラメータは，そのセグメントが含む頂点の座標をモデル座標系に変換するための値になる。また、基本姿勢用の変換パラメータの情報も有する。

そこで、セグメント座標系での座標値を持つモデルの頂点座標を口一カル座標系からスクリーン座標系に変換するため、まず、セグメント座標系からモデル座標系への変換を行う。

セグメント座標系からモデル座標系への変換パラメータの算出は，上述した整数によるジオメ卜リ演算によるァフィン変換の合成により行われる。

親セグメントを持つセグメントの場合は，セグメン卜が持つ変換パラメータ /と、親セグメントのセグメント座標系からモデル座標系への変換パラメ一夕とを合成して，セグメント座標系からモデル座標系への変換パラメータ。/を生成する。この合成に際し、上述したァフィン変換の合成の手法が用いられる。尚、親セグメントを持たないセグメントの場合は、セグメントが持つ変換パラメ一夕 /とすると、セグメント座標系からモデル座標系への変換パラメ一夕は、 =/になる。

続いて、モデル座標系からスクリーン座標系への変換について、説明する。

モデル座標系からスクリーン座標系への変換パラメータも同じ方法で計算する。

モデル座標系から視点座標系への変換パラメータをとし，視点座標系からスクリーン座標系への変換パラメータをとすると，モデル座標系からスクリ一ン座標系への変換パラメ一夕は。；;となる。最後に、上述の如く算出された、セグメント座標系からモデル座標系への変換パラメ一夕と、モデル座標系からスクリ一ン座標系への変換パラメータ rとに基づいて、セグメント座標系からスクリーン座標系への変換パラメータ 5を算出する。

セグメント座標系からスクリーン座標系への変換パラメ一夕 sは、上述の合成と同様に、 _S - r。hとなる。は各セグメント毎に計算する必要があるが、 /は 1 体のモデルの計算では 1度しか計算する必要がない。

このように算出された変換パラメータ 5を使ってセグメント座標系の頂点座標をスクリーン座標系の座標に変換する。

座標変換の演算は、上述した整数によるジオメトリ演算のァフィン変換により座標変換により行う。

すなわち、セグメント座標系の頂点座標，を、変換パラメ一タ sを使ってスクリーン座標系の座標 '，ダ'， 'に変換する。続いて、スクリーン空間で裏面のポリゴンを処理対象から外す（S t e p 2 0 1 ) 。

処理対象のポリゴンを視点座標系の Z値（奥行き）でソートする（S t e ρ 2 0 2 ) 。

最後に、スクリーン座標で仮想フレームパッファにポリゴンを描画する（S t e p 2 0 3 ) 。

本ステップを更に詳細に説明すると、まず、ここでは描画領域に三角形が表示される可能性をチェックする。三角形が完全に描画領域の外にある場合は以降の描画処理をスキップする。

そして、三角形を走査するための数値を事前に計算する。この計算は、主に三角形の稜線座標やテクスチャ一座標などの変化量を計算する。この変化量は、上述した除算を使用しない三角形ラスタライズの演算により行われる。

三角形の走査は，加算ゃビットシフトなどの単純操作を繰り返し、仮想フレームバッファにピクセル値を書き込む。

具体的な演算の方法としては、直線上の J座標の変化量を求める場合、 2次元平面上の点の座標を（，）、点の座標を（，）とする。 ≠ のとき、と ^とをとおる直線の：座標に対する座標の変化量は、上述した通り、

2ー 1 である。

ΔΛ:'= ΙΔ とし、 Δχ'を C言語的な数値演算で求める場合、

Δχ^]=λ^(χ₂ -x₁)/(y₂ -y_t ,

のようになる。 λ

そして、 ⁼

としたときは

ΔΛ:'= μ *( ₂一 )；のように乗算の形式になる。

そこで、を定数にして、 y 座標の範囲を制限すれば、は少ない配列から得ることができる。

そこで、 I - y,lをィンデックスとした〃の値を、メモリ部 3の逆数テ一プル 5に予め格納しておく。そして、 I - Iに対応する〃を逆数テーブル 5から読み出し、このと厂とを除算することにより、

Δ χ' を算出する。

そして、処理の高速化のため、 4 ' で必要な演算を行っていき、仮想フレームバッファにピクセル値を書き込む際に λで除算する。

また、除算の段階で、を 2"(«≥1)としてあれば、算術右シフトによって、を算出することができ、除算を使わずに座標の変化量が求まることが可能となる。

尚、テクスチャ一座標も同様な処理が可能である。

次に、本発明の実際の具体例として、制御部 3で実行される C言語で記載されたプログラムを説明する。

まず、整数によるジオメトリ演算のプログラムを以下に記す。

以下は、メモリに記憶されている、変換パラメ一夕、すなわち行列

A ' と行列 ;， / 'の例である。

/** 整数によるジオメトリ演算 * λ = 4096 とする public class Atrans3i {

publ ic int mOO; // a' „に相当

publ ic int mOl ; // a' ₁₂に相当

publ ic int 102; // a' ₁₃に相当

publ ic int m03; // t， ,に相当

publ ic int mlO; // a' ₂₁に相当

publ ic int mil ; // a' ₂₂に相当

publ ic int ml2; // a' 23に相当

publ ic ini ml3; // t， ₂に相当

publ ic int m20; // a' ₃₁に相当

publ ic int m21 ; // a' ₃₂に相当

publ ic int m22; // a' 33に相当

publ ic int m23; // t' ₃に相当

ここで、 publ ic int mOOから publ ic int m23は、コメントにあるようにァフィン変換の行列と、行列（の各 S素に相当する。また、 λ = 4096である。

次に、座標変換について以下に示す。座標変換

*

* ©param src 変換元の点

* @param dst 変換結果の点 public void transPoint ( Vec3i src, Vec3i dst ) {

int x = ((mOO * src. x + mOl * src. y + m02 * src. z + 2048) » 12) + m03;

int y = ((mlO * src. x + mil * src. y + ml2 * src. z + 2048) » 12) + 113；

int z = ((i20 * src. x + m21 * src.y + m22 * src. z + 2048) » 12) + m23;

dst. x = x； dst.y = y； dst. z = z；

return;

}

ここで、 @param srcは上記の式 2で示される座標 :^^ ^に相当し、 @param dst は上記の式 2で示される座標， , γ' , ζ ' ^に相当する。次に、ァフィン変換の合成について以下に示す。

/** ァフィン変換の合成

*

* @param tl 左辺のァフィン変換

@param t2 右辺のァフィン変換

*/

public void mul t iply ( Atrans3i tl, Atrans3i t2 ) {

int aOO = (tl.mOO Φ t2.m00 + tl.mOl t2.ml0 + tl.m02 * t2.m20 + 2048) » 12;

int aOl = (tl.mOO * t2.m01 + tl. mOl =!： t2.mll + tl.m02 ネ t2.m21 + 2048) » 12;

int a02 = (tl.mOO t2.m02 + tl.mOl * t2.ml2 + tl.m02 =i= t2.m22 i 2048) » 12;

ini a03 = ((tl.mOO t2.m03 + U.mOl * t2.ml3 + tl.m02 < (< + ϊ +π iu：·- ) +コ ίί olπ nπ + Ξ * *sβs曰 =曰曰-- · ·

<< +曰 ·

) +ίΐヨ Sπ οί + ΠΠ二 * *τ曰π曰 =曰曰 · ·- << +π ΐ w :·

)ョヨ +π Πu + U * *曰曰 =曰 · --

〇

<< ( +8S

))Ι二 Π s + 0一 nu一二 + ^ *¾Θ =曰s..- s << ( +ssΠu + : ·- 0 li1 + 000 +1 U * *e曰 =曰-

〈八 +

)5π +一 t二 + Π ¾n * ^曰 ΠΘ-·- << ( +π ΠS ：·

) u s + Su一 +Π uU * *曰 =曰s曰... · )) S十ππ Ππ + * *曰日 =曰曰 ·· · ·

(t + +8s Uョ：. ョ πョ"曰：« : =s； M = n

* λ = 65536 とする

l

'public class Polydraw {

/** ポリゴン頂点情報 */

static final class Vertex {

int x; II ピクセル X座標

int y; 〃ピクセル Y座標

int u; IIテクセル U座標

int v; IIテクセル V座標

// 内部定数

private final static int SFT = 16;

private final static int TEXHMASK = 0x7F0000

private final static int TEX MASK = 0x7F;

private final static int TEXPSHIFT = 0x09;

// li - lのテ一ブル

private static final short —inverse— tbl口 = {

0x0000, (shori)Oxf f ff, 0x7f f f, 0x5554, 0x3f ff, 0x3332, 0x2aa9, 0x2491,

Oxlf f f, 0xlc70, 0x1998, 0x1744, 0x1554, 0x131)0, 0x1248,

OxOf f f, OxOfOe, 0x0e37, 0x0d78, OxOccb, 0x0c2f, OxObal 0x0b20,

0x0aa9, 0x0a3c, 0x09d7, 0x097a, 0x0923, 0x08d2, 0x0887, ： { εοζοχο 9ζ

' 020X0 'QOZOXO ΊΟΖΟ^Ο ' OXO '8ΙΖ0Χ0 'ιποχο

'9220X0

'Β^ΟΧΟ ΖΖΟ^Ο '8820^0 ' SZO^O 'Z OXO '8 20X0

'8 20X0 'Ρ Ζ0^0 '8920^0 '6920^0 'J920X0 '9^20^0 OZ

'oqzoxo

'8QZ0X0 'JQ20X0 'Z^OXO ' ΡΖΟ^Ο ΊΡΖΟ^Ο 'L^ZO^O

ΌίΖΟΧΟ ST

'6JZ0X0 'ZOSOXO 'qOSOXO ' lSOXO '3180X0 '8280X0

'3220X0

'Ρδεοχο

'^680X0

' BSOXO ' qgOXO '1PS0X0 'JP80X0 'J320X0 'JJ20X0 01

'0 0X0 'I 0X0 ' ^ 0X0 'SS^OXO '89^0^0 ^LfO^O '16^0^0

0X0

'3¾ίΌΧ0 'SP OXO 'q 0X0 ' OSOXO ' ISOXO '8S 0X0 ' SOXO

eU 0xo e

'J8S0X0 ¾50Χ0 ΌΡ90Χ0 'SJSOXO '1190^0 'P290X0 'S990X0

'J890X0

'qq90xo 'B39oxo 'q oxo 'j zoxo '98λοχο

' 80X0

Ζ2 .ST90/Z0df/X3d ΟΟ/εθ OAV 尚、上記テーブルは、上述したの値の逆数テーブル 5に相当するものであるが、メモリの記憶容量節約の観点から、 — 1としてある。そして、 ly- y_;|の大きさの順に並んでいる。

〃仮想フレームバッファ情報

private byte scr image [] ;// 仮想フレームノッファの先頭アドレス

private int scr— width; // フレームバッファの横ピクセル数 private int scr_height; II フレームバッファの縦ピクセル数 private int scr— pi tch; II スキャンラインス卜ライド private int s c r_o f f s e ί； II アドレスオフセッ卜

// テクスチャ一イメージ情報

private byte tex_image□； // テクセルデ一夕の先頭アドレス private Texture texture; IIテクスチャ一

private int tex_width； IIテクスチャ一の幅

private int tex_height； IIテクスチャーの高さ

II クリップ情報

private int clip— left; II左クリップ位置

private int clip一 top; // 上クリップ位置

private int clip— right; // 右クリップ位置

private int clip— bottom; // 下クリップ位置 / 三角形を描画 */

void drawTr iangle ( Polydraw. Vertex vO, Polydraw. Ver tex vl Polydraw. Ver tex v2 ) {

クリッピング（コード省略） */

boolean inside;

1% 3点をソート（コード省略） */

int top一 x， top一 y， top一 u, top一 v;

int mid_x, mid— y, mid_u, mid_v;

int bot_x, bot_y, bot— u， bot_v;

/* 3点が横に一直線 */

if ( top_y == bot_y )

return;

1% スキャン開始位置 */

int scan— scr— y = top_y ;

int pixel = scan— scr— y * scr_pi tch + scr— offset int dist— scr_x， dist— scr— y;

int tb_scr_x, tm_scr_x, rab_scr_x;

int tb_scr_dx, tm_scr_dx, mb_scr_dx;

int dist— tex— u， dist— tex一 v;

int tb_tex_u, tb_tex_v, tm_tex_u, ti_tex_v, mb— tex— u, mb— tex— v;

int tb_tex_do, tb_tex_dv, tm_tex_du, tm— tex— dv， mb_tex_du, mb_tex_dv;

/* top-bot */

dist— scr— x = bot_x - top一 x;

dist— scr— y = inversel6 ( bot_y - top— y )；

tb_scr_dx = dist— scr— x * dis t__scr_y; // top-bot の X勾配（4 ' の求め方）

tb_scr_x = top_x « SFT; // top-bot上の J /* テクスチャーの top- bot /

disし tex— u = bot_u - top— u; { Ax' の求め方) dist— tex— v = bot_v - top_v; ( Δ ' の求め方) tb_t ex_do = dist_tex_u * dist— scr— y;

tb_tex_dv = dist_tex_v * dist— scr— y;

tb_tex_u = top— u « SFT; II top- bo t上の U

tb_tex_v = top— v « SFT; II top-bot上の V

/* top-mi d */

dis t_scr_x = mid_x - top_x;

dist— scr— y = mid_y top— y;

dist— tex— u = mid— u - top_u;

dist— tex— v - mid— v - top_v;

/* テクスチャースキャン用 dx，dy t op-bo t->m id */ int scan— tex_du, scan— tex— dv;

int width = dist scr— x - ( (tb_scr_dx * dist— scr— y) » SFT)；

if ( width != 0 ) {

int inv_width = inversel6 ( width ) ;//水平スキヤン U 勾配（ ΐ ' の求め方）

scan_tex_du = (dis i_tex_u - ((tb_tex_du * dist— scr— y) » SFT)) * inv_width; ) ;//水平スキャン v勾配（ JT ' の求め方） scan_tex_dv = (dis t_tex_v - ((tb_tex_dv * dist— scr— y) » SFT)) * inv_ idt ;

}

else

return;

/* top-mid */

int scr_end, scr_dd；

if ( disし scr— y > 0 ) {

/* 上の三角形がある */

dist— scr— y = inversel6 ( dist_scr_y )； tm_scr_dx = dist— scr— x * dist_scr_y;// top-mi dの x 勾配（ ΐ ' の求め方）

tm_scr_x - tb_scr_x； // top- mid上の X

/ テクスチャーの top- mid

tm_tex_du = dist— tex— u * dist— scr— y; II top-midの U 勾配（ I JT' の求め方）

tm_tex_dv = dis t_tex_v % dist— scr— y; I / top-mid 上の v勾配（ l ' の求め方） tm_tex_u = tb— tex— u; II top - mid上の U勾配

tm— tex— v = tb— tex— v; II top— mid上の V勾配 if ( width > 0 ) { II top-botが左

if ( inside ) {

while ( scan—scr— y く mid— y ) {

int pi = (tb_scr_x » SFT) + pixel ; int p2 = (tm— scr— x » SFT) + pixel: int tpx = tb_tex_u;

int tpy = tb_tex_v;

while ( pi < p2 ) {

int tidx = ((tpy & TEXHMASK) »> TEXPSHIFT) + ((tpx »> SFT) & TEX丽 ASK) ;

scr一 image [pi] = tex一 image [t idx] ;// 1 ピクセル書き込む

tpx += scan— tex一 du;

tpy += scan— tex一 dv;

pl++;

} scan— scr— y++；

pixel += scr_pi tch;

tb— scr— x += tb_scr_dx;

tm— scr— x += tm—scr—dx;

tb— tex— u += tb— tex— du;

tb tex v += tb tex dv: }

else { 1% コ一ド省略 %/ } else { /* top-midが左（コード省略） */ }

}

/* 底が水平 */

if ( mid— y == bot— y )

return;

/ mid-bot */

dist— scr— x = bot— x - mid_x;

dist— scr— y = inversel 6 ( bot_y - mid— y )；

mb_scr_dx = dist— scr— x * dist— scr— y; II mid-botの勾配 mb_scr_x = mid— x « SFT; II mid-bot上の X if ( width > 0 ) { II top-botが左

if ( ins ide ) {

whi le ( scan— scr— y < bot_y ) {

ini pi = (tb— scr— x » SFT) + pixel:

int p2 = (mb— scr— x » SFT) + pixel； int tpx = ib_tex_o;

int tpy = tb_tex_v;

while ( pi < p2 ) {

int tidx = ((tpy & TEXHMASK) »> TEXPSHIFT) + ((tpx »> SFT) & TEXWMASK)； scr_image [pi] = tex_image [tidx]； //I t: クセル書き込む

tpx += scan_t ex_du；

tpy += scan_tex_dv;

pl++;

scan_scr_y++；

pixel 1= scr_ i tch;

tb_scr_x += tb_scr_d ；

mb_scr_x += mb_scr_dx；

tb_tex_u += tb_tex_du；

tb_tex_v += tb一 tex dv;

}

else { Λ コード省略 */ }

}

else { /* mid - botが左（コード省略） */ } return;

/ ^を計算する

*

* @param num 分母（-32767..- 1..32767)

boolean posi— fig = (num 〉= 0) ; int denom = posし fig？ num ： -num;

if ( denom < 128 ) {

int val = し inverse— tb 1 [denom] & OxffH) + 1； re turn pos i_f lg？ val ： -val；

} in x = 32768*128;

in y = denom « 15

{ int s = - y ; X = (s >= 0) ？ (s « 1) + 1 ： X «

{ int s = X - y; X = (s >= 0) ？ (s « 1) + 1 ： X «

{ int s = X - y ; X = (s >= 0) ？ (s « 1) + 1 ： X «

{ int s = - y ; X = (s 〉= 0) ？ (s « 1) + 1 ： X «

{ int s = X - y ; X = (s >= 0) ？ (s « 1) + 1 ： X «

{ int s = X - y; X = (s >= 0) ？ (s « 1) + 1 ： X «

{ int s = X 一 y ; x = (s 〉= 0) ？ (s « 0 + 1 ： X « int r = (x » 15)；

x «= 1；

if ( denomく = r x++;

x &= Oxf f f f；

return posi_f lg ? x ： -x; }

以上が、本発明を実施する為のプログラムの一例である産業上の利用可能性

本発明は、 3次元画像の描画の演算処理の際、整数の範囲で演算処理が行えるので、携帯電話や、 P D A (Personal Digi tal (Data) Assistants) のように F PU (浮動小数点演算ユニット）も備えていないものであっても、 3次元画像が扱える。

また、演算処理の際、処理負荷の高い除算を行わないようにしているので、 C P Uの能力が低い情報処理装置であっても、スムーズな描画処理が行える。

Claims

請求の範囲座標値が整数に限定され、座標 , 'を

で表現されるァフィン変換により、座標 ' ,γ' ,ζ' に変換処理を行う 3次元画像の描画を行う情報処理装置であって、

ァフィン変換の行列

'^αη 12 13ヽ

A

、 31 ^α32 33ノ

に λ (Φ 0 ) をかけた行列 '

^{A fl}33_y

と、行列 ^;, 'と、形状データとが格納されたメモリと、

前記形状データの座標， Wを、行列及び行列 "い ) 'とのァフィン変換により、座標 ' ， _y' , に変換する際、前記メモリより、行列 ' と、行列（ , / 'とを読み出し、

'= («'₂₁*% + ' ₂₂* + β'₂₃* )/Α +t₂;

z'= a _x*x + a ₂^y +β'₃₃*ζ)/ス +t₃;

を演算して、座標 ' ， , ζ ' を演算する演算手段と

を有することを特徴とする情報処理装置。

2. 前記 λを 2"(«¾1)に限定し、

前記演算手段は、

χ'= (β'_η*Λ: + a ₂^y + "'₁₃*ζ) + t

= ( ' ₂₁* + a ^y + "'₂₃*ζ) + 1₂;

'= ( ' ₃₁*χ + β'₃つ *y + α *ζ)/Λ +t₃;

の除算演算を、 n桁右シフ卜することにより演算する手段であることを特徴とする請求項 1に記載の情報処理装置。

3. 前記演算手段は、各被除数に定数 / を加えた後、 n桁右シフトすることにより演算する手段であることを特徴とする請求項 2に記載の情報処理装置。

4. 予め λ (≠ 0 ) をかけた二つ以上のパラメータを合成する合成手段を有することを特徴とする請求項 1から請求項 3のいずれかに記載の情報処理装置。 λ

5. ^{μ =} ~ ~ (λは 2"(_ra≥l)) で表せられる定数が、 y座標の変化量に関連付けられて格納されたメモリと、

y座標に対する座標の変化量、

Ax =

を演算する際、

前記 y座標の変化量に対応するを前記メモリより読み出して乗算により、

Δ ' = μ * (ぶつ一 _χ)；を演算し、

算出された ' を、 η桁右シフトすることにより、 4 を演算する演算手段と

を更に有することを特徴とする請求項 1から請求項 4のいずれかに記載の情報処理装置。

6. 座標値が整数に限定され、座標， ^を、

で表現されるァフィン変換により、座標 ' ， ' に変換処理を行う 3次元画像の描画処理方法であって、

形状データの座標， Wを、行列 4及び行列とのァフィン変換により、座標 ' ,γ' ,ζ' ^に変換する際、メモリに記憶されている、行列 Πこ λ (Φ 0 ) をかけたパラメ一夕 ^'

λ α_ι2ヽ

と、行列 (t t₂, とを読み出すステツプと、

前記読み出した行列と、行列 ;，， / とに基づいて、 '= (a *x + a ₂*y +α'₁₃*ζ)/λ +ί_χ;

ダ= (β'₂₁* + a'₂₂*y +

+ 1₂;

z'= (a ^x - a ₂^y + a ^z)l λ +t₃;

を演算して、座標 ' ，ダ ' ， ' を演算するステップと

を有することを特徴とする描画処理方法。

7. 前記 λを 2ⁿ(«≥l)に限定し、

前記演算するステツプは、

= ("'21*ぶ + "'22*y + "'23 ） / +

z'= (a'₃,* + a ₂^y + β'₃₃*ζ)/λ +ί₃;

の除算演算を、 η桁右シフトすることにより、座標 ' ， ' ， ^を演算するステップであることを特徴とする請求項 6に記載の描画処理方法。

8. 前記 η桁右シフトする前に、各被除数に定数 / を加算するステツプを更に有することを特徴とする請求項 7に記載の描画処理方法,

9. 予め λ (≠ 0 ) をかけた二つ以上のパラメータを合成するステップを更に有することを特徴とする請求項 6から請求項 8のいずれかに記載の描画処理方法。

1 0. y座標に対する座標の変化量、を演算する際、

λ

(λは 2"(w≥l)) で表せられる定数^が、 y座標の変化量

に対応して記憶されているメモリから、前記演算する y座標の変化: に対応する定数/ _iを読み出すステツプと、

前記読み出した定数^に基づいて、 χ = μ *( つ；を演算するステツプと、

算出された ' を、 η桁右シフトすることにより、 l を演算するステップと

を更に有することを特徴とする請求項 6から請求項 9のいずれかに記載の描画処理方法。座標値が整数に限定され、座標， y， 'を、

で表現されるァフィン変換により、座標 ' ，7' , ' ^に変換処理を、情報処理装置に行わせるプログラムであって、

形状データの座標 r, Wを、行列及び行列 "い t₂, t₃yとの了フイン変換により、座標 ' ，: F' , ζ ' に変換する際、メモリに記憶されている、行列に λ (≠ 0 ) をかけたパラメ一夕 ' fa 11 a 12 a '₁₃) ' λα λβ₁₂ な ₁₃ヽ

A= a 21 a 22 a 23 = λΑ = X

、^fl 31 a 32 a 33 J ₃₂ と、行列 "い t₂, とを読み出すステップと、

前記読み出した行列 ' と、行列 ;，とに基づいて、

'= («'_n* + a'₁₂*y + β'_Ρ*ζ)/Α +t ,

y'= (α'₂₁* + α'₂₂*3 +_fl'₂₃*z)/A +ί₂;

を演算して、座標 ' ， _y' を演算するステップと

を有することを特徴とするプログラム。

1 2. 前記プログラムは、

前記 λを 2" («¾1)に限定されている場合において、

前記演算するステップは、情報処理装置に、

;

z'= (a'₃₁*x + a'₃₂* + a ^z)l λ +t₃;

の除算演算を、 n桁右シフトすることにより、座標 ' ，を演算させるステップであることを特徴とする請求項 1 1に記載のプログラム。

1 3. 情報処理装置に、前記 n桁右シフトする前に、各被除数に定数 ? を加算させるステップを更に有することを特徴とする請求項 1 2に記載のプログラム。

4 情報処理装置に、予め λ (≠ 0 ) をかけた二つ以上のパラメ一夕を合成させるステップを更に有することを特徴とする請求項から請求項 1 3のいずれかに記載のプログラム。

5. 情報処理装置に、

y座標に対する座標の変化:

を演算する際、

^ ⁼~ ~~ ~ (λは 2"(_W!S1)) で表せられる定数 Xが、 y座標の変化量

2 -） ^

に対応して記憶されているメモリから、前記演算する y座標の変化量に対応する定数^を読み出させるステップと、

前記読み出した定数^に基づいて、

Δχ' = μ^(χ - χ^)；を演算させるステップと、

算出された 4 ' を、 η桁右シフトすることにより、を演算させるステップと

を更に有することを特徴とする請求項 1 1から請求項 1 4のいずれかに記載のプログラム。

1 6. 座標値が整数に限定され、座標 'を、 + ¹)

で表現されるァフィン変換により、座標 ' ， , ζ' に変換処理を、情報処理装置に行わせるプログラムが格納された記録媒体であって、前記プログラムは、

形状データの座標， Wを、行列及び行列 ( t₃) 'との了フイン変換により、座標 ' ， 7' , ^に変換する際、メモリに記憶されている、行列に λ (Φ 0 ) をかけたパラメ一タ ^ 4 '

、ノ

と、行列， / 'とを読み出すステップと、

前記読み出した行列，と、行列（^， / 'とに基づいて、

x'= (a'_n* + ₂*y +a' *z)/A +t_x;

z'= (α'₃₁* + fl'₃₂*y + β'₃₃*ζ)/ +ί₃;

を演算して、座標 o ,γ' ,_ζ' ^を演算するステツプと

を有することを特徴とするプログラムが格納された記録媒体。 1 7. 前記プログラムは、

前記 λを 2"(« ¾1)に限定されている場合において、

前記演算するステップは、情報処理装置に、 '= (a_u*x + a ₂^y +α'₁₃*ζ)/λ +t_x;

₂₁* + «'₂₂ *y + "， )/ + ；

ζ'= (β'₃₁*χ + β'₃₂*ヌ + β'₃₃*ζ)/Α +t₃;

の除算演算を、 n桁右シフトすることにより、座標 ' ， y' , ^を演算させるステツプであることを特徴とする請求項 1 6に記載のプログラムが格納された記録媒体。

1 8. 前記プログラムは、情報処理装置に、前記 n桁右シフトする前に、各被除数に定数 / を加算させるステツプを更に有することを特徴とする請求項 1 7に記載のプログラムが格納された記録媒体。

1 9. 前記プログラムは、情報処理装置に、予め λ (≠ 0 ) をかけた二つ以上のパラメータを合成させるステツプを更に有することを特徴とする請求項 1 6から請求項 1 8のいずれかに記載のプログラムが格納された記録媒体。

2 0. 前記プログラムは、情報処理装置に、

y座標に対する J座標の変化量、

»

Δχ =——— -

を演算する際、

_

~~ ~ (λは 2"(«¾1)) で表せられる定数 ^が、 y座標の変化量 2 ヌ 1

に対応して記憶されているメモリから、前記演算する y座標の変化量に対応する定数^を読み出させるステップと、前記読み出した定数^に基づいて、

Αχ = μ *( ₂ -x^)；を演算させるステップと、

算出された l ' を、 n桁右シフトすることにより、を演算させるステップと

を更に有することを特徴とする請求項 1 6から請求項 1 9のいずれかに記載のプログラムが格納された記録媒体。